m = 99 г, М = 109 г, L = 52 см.
Лягушка прыгает ВЛЕВО под углом α к горизонту со скоростью V. Горизонтальная скорость её: Vг = V*cosα. Скорость v доски (скорость отдачи) ВПРАВО определится из ЗСИ: m*Vг + М*v = 0 ==> v = – m*Vг/М.
Пусть полное время полёта лягушки до края доски равно t, тогда:
L = (v + Vг)*t ==> t = L/(v + Vг) = L/(Vг*(–m/M + 1)) = L/(Vcosα*(1 – m/M) (*).
С другой стороны, полное время полёта при таком броске (см. Картинку внизу):
t° = 2V*sinα/g (**).
Приравняем (*) = (**):
L/(Vcosα*(1 – m/M)) = 2V*sinα/g ==>
L*g/(1 – m/M) = 2V*sinα*Vcosα ==>
V^2 = L*g/((1 – m/M)sin(2α)) = LgM/((M–m)*sin(2α)) = {{для совершения наиболее длинного прыжка лягушка, конечно же выбирает α = 45°, так что sin(2α) = 1}} ==>
V^2 = LgM/(M–m).
В итоге: V = sqrt(LgM/(M–m)) = sqrt(0.52*10*0.109/(0.109 - 0.099)) = 7,53 м/с.
Ответ: V = sqrt(LgM/(M–m)) = 7,53 м/с.