Mail.ruПочтаМой МирОдноклассникиВКонтактеИгрыЗнакомстваНовостиКалендарьОблакоЗаметкиВсе проекты

Аналитическая геометрия. Даны точки А, B и дано геометрическое место точек M Найти уравнение ГМТ М.

Александр Панасюк Ученик (126), на голосовании 1 месяц назад
Даны точки А, B и дано геометрическое место точек M:
A = (0,0,-4),B=(0,0,4), M = {P ∈ Ω | AP+BP=10}
Найти уравнение ГМТ М.
Помогите, пожалуйста!
Голосование за лучший ответ
Луис Альберто Просветленный (37156) 2 месяца назад
Решение:

Расстояние от точки M(x, y, z) до точки A равно:

```
d(M, A) = √((x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z + 4)^2)
```

Расстояние от точки M(x, y, z) до точки B равно:

```
d(M, B) = √((x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 4)^2)
```

По условию задачи, AP + BP = 10, то есть:

```
√((x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z + 4)^2) + √((x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 4)^2) = 10
```

Раскрывая квадраты в обеих частях уравнения, получаем:

```
x^2 + y^2 + z^2 + 8z + x^2 + y^2 + z^2 - 8z = 100
```

```
2x^2 + 2y^2 + 2z^2 = 100
```

```
x^2 + y^2 + z^2 = 50
```

Это уравнение сферы с центром в начале координат и радиусом 5.

Ответ: уравнение ГМТ М имеет вид **x^2 + y^2 + z^2 = 50**.

**Пояснение:**

В данном случае геометрическое место точек M представляет собой сферу, так как сумма расстояний от произвольной точки M до двух данных точек A и B постоянна. Радиус сферы равен √10 = 5, так как AP + BP = 10.
Дмитрий Калинкин Оракул (84719) 2 месяца назад
ГМТ М -по определению эллипсоид вращения вокруг оси Z.
Его формула
x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1,
Где а=b=√(AP+BP)²/4 - |A(z)|²=√(25-16=3, малые полуоси эллипсоида.
Где c = (AP +BP)/2 = 5 - большая полуось
Уравнение:
x²/3² + y²/3² +z²/5² = 1, или,
x²/9 + y²/9 +z²/25 = 1
Дмитрий КалинкинОракул (84719) 2 месяца назад
Решать нужно так, как решал Луис Альберто, но он ошибся, возводя корни в квадраты!
При z коэффициент получается отличным от коэфф. при x и y!
Если решать более внимательно, то получится уравнение эллипсоида, как я написал
Александр ПанасюкУченик (126) 2 месяца назад
Разве получится не x²/9 + y²/9 +z²/36 = 1 ?
Дмитрий Калинкин Оракул (84719) Александр Панасюк, нет! У меня после двойного возведения корней в квадрат получается уравнение (16z-100)²/400 = x²+y²+z²-8z+16; 256z²+10000=400x²+400y²+400z²+6400; 400x²+400y²+144z²=3600; x²/9+y²/9+z²/25=1 Кроме того, если писать формулу через полуоси, то большая ось равна 10, а малые оси 6, т.е. знаменатели при координатах будут 3², 3², 5²
Похожие вопросы