Сразу ли оформляется заявление на получение нового паспорта при потере?

Да

Ну, если не хочешь потом писать объяснительную, что на тот момент он уже был утерян, а тебе было в лом сходить заявить... И искать пару свидетелей, готовых сходить с тобой в полицию, чтобы подтвердить, что в указанное время ты была с ними, а не брала кредит в банке;)...

в твоих интересах