Когда применять метод интервалов при решении неравенств, а когда не применять?

если больше 1 корней

Метод интервалов при решении неравенств можно применять всегда, но не везде это оправдано.

Например, при решении неравенства x^2 - 16 < 0 можно воспользоваться методом интервалов:
1) Найти корни выражения x^2 - 16 = 0
2) Нарисовать числовую прямую
3) Отметить на ней найденные корни
4) И посмотреть, какие значения принимает функция на интервалах

В нашем случае корни уравнения равны x = +-4

Кстати, это видно на графике) Но график рисовать ВООБЩЕ не обязательно, чтобы решить пример. Это долго.

Вернёмся к промежуткам. Их у нас три: (-∞; -4), (-4; 4) и (4; +∞).
Найдя значения на этих промежутках, ты сможешь дать ответ.

Возьмём, что x = -5, тогда (-5)^2 - 16 = 9. Значит, первый промежуток положительный (мы ищем отрицательные, так как x^2 - 16 < 0).

Возьмём, что x = 0 (из промежутка от -4 до 4), тогда получим 0^2 -16 = -16, что значит, что второй промежуток отрицательный.

И возьмём, что x = 5, тогда 5^2 - 16 = 9 (ещё и ответы симметричные, потому что классная парабола) - третий промежуток положительный.

Значит, нам подходит только промежуток (-4; 4). Только там функция отрицательна. Это и есть ответ.


Но можно поступить и проще, без метода интервалов, который нужно расписывать пол года.
Ты можешь мысленно построить график любой параболы у себя в голове и заметить, что где функция заходит под ось иксов, она там отрицательна (логично), где выше - там положительна.

Следовательно, если ты знаешь просто корни уравнения параболы и направленность её ветвей (она растёт или убывает), то тебе сразу будет известен ответ.

Например, x^2 - 4 > 0 будет иметь решение (-∞; -2)⋃(2; +∞).
В голове должна быть примерно такая картина:



Но если у тебя функция вида ?^3−(2?)^2 + 6 < 0, то тогда нужно найти корни и решить всё методом интервалов))

Короче, вот ответ на твой вопрос:
квадратное или линейное (когда просто прямая нарисована) неравенство можно решить без метода интервалов, кубическое или выше следует решать методом интервалов.