Расчетно графическая работа
Даны четыре точки в пространстве:
A(2;3;2),B(5;3;6),C(4;4;4),D(5;6;7).
а) Покажите, что векторы AB,AC
и АD
образуют базис в пространстве;
б) Найдите проекцию вектора AB на вектор BC;
в) Найдите площадь треугольника ABC
;
г) Найдите угол между плоскостью ABC
и прямой AD;
д) Найдите уравнение нормали к плоскости ABC, проходящей через точку D;
е) Найдите точку пересечения этой нормали и плоскости ABC;
ж) Сделайте схематический чертеж.
Помогите пожалуйста
Давайте последовательно выполним все пункты задачи.
а) Для проверки, образуют ли векторы AB, AC и AD базис в пространстве, необходимо показать, что они линейно независимы. Это можно сделать, например, найдя определитель матрицы, составленной из координат этих векторов.
Вектор AB можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки B:
AB = B - A = (5 - 2, 3 - 3, 6 - 2) = (3, 0, 4).
Аналогично для AC и AD:
AC = C - A = (4 - 2, 4 - 3, 4 - 2) = (2, 1, 2),
AD = D - A = (5 - 2, 6 - 3, 7 - 2) = (3, 3, 5).
Теперь составим матрицу из векторов AB, AC и AD и найдем ее определитель:
| AB AC AD |
| 3 2 3 |
| 0 1 3 |
| 4 2 5 |
Определитель этой матрицы равен:
3(15 - 32) - 2(05 - 43) + 3(02 - 14) = 3(5 - 6) - 2(0 - 12) + 3(0 - 4) = 3(-1) + 24 - 12 = -3 + 24 - 12 = 9.
Так как определитель не равен нулю, векторы AB, AC и AD линейно независимы и образуют базис в пространстве.
б) Проекция вектора AB на вектор BC вычисляется по формуле:
proj_BC(AB) = (AB * BC / |BC|^2) * BC,
где * означает скалярное произведение, а |BC| - длину вектора BC.
Сначала найдем вектор BC и его длину:
BC = C - B = (4 - 5, 4 - 3, 4 - 6) = (-1, 1, -2),
|BC| = √((-1)^2 + 1^2 + (-2)^2) = √(1 + 1 + 4) = √6.
Теперь найдем скалярное произведение AB и BC:
AB * BC = (3, 0, 4) * (-1, 1, -2) = 3*(-1) + 01 + 4(-2) = -3 - 8 = -11.
Теперь можем найти проекцию:
proj_BC(AB) = (-11 / 6) * BC = (-11 / 6) * (-1, 1, -2) = (11/6, -11/6, 22/6) = (11/6, -11/6, 11/3).
в) Площадь треугольника ABC можно найти, используя формулу:
S_ABC = 1/2 |AB × AC|,
где × обозначает векторное произведение.
Рассчитаем векторное произведение AB и AC:
AB × AC = | i j k |
| 3 0 4 |
| 2 1 2 |
= i(02 - 41) - j(32 - 42) + k(31 - 02) = -4i - 2j + 3k,
где i, j, k - единичные векторы.
Теперь найдем длину этого вектора:
|AB × AC| = √((-4)^2 + (-2)^2 + 3^2) = √(16 + 4 + 9) = √29.
Площадь треугольника ABC:
S_ABC = 1/2 * √29