Дз на тему комбинаторика (Писать с решением)
1. Сколькими различными способами можно избрать из 15 человек делегацию в составе 3 человек?
2. Сколькими способами можно составить список из 5 учеников?
3. Из ящика, где находится 15 шаров, нумерованных последовательно от 1 до 15, требуется вынуть 3 шара. Определить число возможных комбинаций при этом?
4. Сколько существует числе, делящихся на 5, десятичная запись которых содержит 8 цифр, причём все цифры различны и никакие две четные и две нечетные цифры не стоят рядом.
5. Студент составляет 5-буквенные слова, в которых есть только буквы К, А, Т, Е, Р, причём буква Р используется в каждом слове хотя бы 2 раза. Каждая из других допустимых букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем. Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые может написать студент?
1. Для выбора делегации из 15 человек в составе 3 человек можно воспользоваться формулой сочетаний:
C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
Где n - общее количество элементов, k - количество элементов, которые мы выбираем.
Таким образом, для нашего случая:
C(15, 3) = 15! / (3! * (15-3)!) = 455.
Итак, существует 455 различных способов выбрать делегацию из 15 человек в составе 3 человек.
2. Для составления списка из 5 учеников просто используем перестановки:
P(n) = n!
Где n - общее количество элементов.
Таким образом, для нашего случая:
P(5) = 5! = 120.
Итак, существует 120 способов составить список из 5 учеников.
3. Для определения числа возможных комбинаций при вытаскивании 3 шаров из ящика с 15 шарами, используем сочетания:
C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
Где n - общее количество элементов, k - количество элементов, которые мы выбираем.
Таким образом, для нашего случая:
C(15, 3) = 15! / (3! * (15-3)!) = 455.
Итак, существует 455 возможных комбинаций при вытаскивании 3 шаров из ящика с 15 шарами.
4. Для нахождения числа чисел, делящихся на 5 и содержащих 8 цифр, причём все цифры различны и никакие две четные и две нечетные цифры не стоят рядом, можно использовать метод перестановок с ограничениями.
Сначала выберем места для нечетных цифр:
Для этого у нас есть 4 четных цифры (0, 2, 4, 6) и 4 нечетные цифры (1, 3, 5, 7, 9). Мы можем выбрать места для нечетных цифр следующим образом: C(8,4).
Затем размещаем нечетные цифры на выбранные места: P(4).
Далее выбираем места для четных цифр: у нас осталось 4 места для четных цифр. Мы можем разместить четные цифры на этих местах следующим образом: P(4).
Итак, общее количество чисел будет равно произведению всех этих вариантов:
C(8,4) * P(4) * P(4)
5. Для нахождения количества 5-буквенных слов, в которых буква Р используется хотя бы 2 раза, можно разбить задачу на несколько случаев:
- Р используется ровно 2 раза;
- Р используется ровно 3 раза;
- Р используется ровно 4 раза;
- Р используется ровно 5 раз.
Для каждого случая можно использовать формулу сочетаний и перестановок для размещения оставшихся букв. После этого сложить результаты для всех случаев.
**1. Сколькими различными способами можно избрать из 15 человек делегацию в составе 3 человек?**
Это задача на **комбинации без повторений**. Всего существует 15 вариантов для первого члена делегации, 14 вариантов для второго и 13 вариантов для третьего. Однако, порядок членов делегации не имеет значения, поэтому мы должны разделить на 3!, чтобы учесть все возможные перестановки.
Ответ: **\frac{15 \times 14 \times 13}{3!} = 455**
**2. Сколькими способами можно составить список из 5 учеников?**
Это задача на **размещения с повторениями**. В этом случае порядок имеет значение, поэтому в каждом списке будет 5 различных позиций, которые можно заполнить 5 различными учениками.
Ответ: **5^5 = 3125**
**3. Из ящика, где находится 15 шаров, нумерованных последовательно от 1 до 15, требуется вынуть 3 шара. Определить число возможных комбинаций при этом?**
Это задача на **комбинации без повторений**. В этом случае порядок имеет значение, поэтому мы должны учитывать все возможные комбинации.
Ответ: **\binom{15}{3} = 455**
**4. Сколько существует числе, делящихся на 5, десятичная запись которых содержит 8 цифр, причём все цифры различны и никакие две четные и две нечетные цифры не стоят рядом.**
В этом случае первая цифра может быть только 0 или 5. Если первая цифра равна 0, то вторая цифра может быть любой из 4-х оставшихся цифр. Если первая цифра равна 5, то вторая цифра может быть любой из 5-ти оставшихся цифр.
Далее, для каждой из двух возможных первых цифр, оставшиеся 6 цифр могут быть любыми из 9-ти оставшихся цифр.
Таким образом, общее число возможных чисел равно:
```
(2 \times 9^6) + (1 \times 5^6) = 199580
```
**5. Студент составляет 5-буквенные слова, в которых есть только буквы К, А, Т, Е, Р, причём буква Р используется в каждом слове хотя бы 2 раза. Каждая из других допустимых букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем. Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые может написать студент?**
В этом случае возможны следующие варианты:
* **РР***: в этом случае есть 3 варианта для первой буквы, 2 варианта для второй буквы, и 1 вариант для третьей буквы. Всего 6 вариантов.
* **Р**Р**: в этом случае есть 3 варианта для первой буквы, 2 варианта для второй буквы, и 3 варианта для третьей буквы. Всего 18 вариантов.
* **Р***Р: в этом случае есть 3 варианта для первой буквы, 3 варианта для второй буквы, и 2 варианта для третьей буквы. Всего 18 вариантов.
Таким образом, общее число возможных слов равно:
```
6 + 18 + 18 = 42
```
Ответ: **42**
1. Для выбора делегации из 15 человек в составе 3 человек можно воспользоваться формулой сочетаний:
C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
Где n - общее количество элементов, k - количество элементов, которые мы выбираем.
Таким образом, для нашего случая:
C(15, 3) = 15! / (3! * (15-3)!) = 455.
Итак, существует 455 различных способов выбрать делегацию из 15 человек в составе 3 человек.
2. Для составления списка из 5 учеников просто используем перестановки:
P(n) = n!
Где n - общее количество элементов.
Таким образом, для нашего случая:
P(5) = 5! = 120.
Итак, существует 120 способов составить список из 5 учеников.
3. Для определения числа возможных комбинаций при вытаскивании 3 шаров из ящика с 15 шарами, используем сочетания:
C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
Где n - общее количество элементов, k - количество элементов, которые мы выбираем.
Таким образом, для нашего случая:
C(15, 3) = 15! / (3! * (15-3)!) = 455.
Итак, существует 455 возможных комбинаций при вытаскивании 3 шаров из ящика с 15 шарами.
4. Для нахождения числа чисел, делящихся на 5 и содержащих 8 цифр, причём все цифры различны и никакие две четные и две нечетные цифры не стоят рядом, можно использовать метод перестановок с ограничениями.
Сначала выберем места для нечетных цифр:
Для этого у нас есть 4 четных цифры (0, 2, 4, 6) и 4 нечетные цифры (1, 3, 5, 7, 9). Мы можем выбрать места для нечетных цифр следующим образом: C(8,4).
Затем размещаем нечетные цифры на выбранные места: P(4).
Далее выбираем места для четных цифр: у нас осталось 4 места для четных цифр. Мы можем разместить четные цифры на этих местах следующим образом: P(4).
Итак, общее количество чисел будет равно произведению всех этих вариантов:
C(8,4) * P(4) * P(4)
5. Для нахождения количества 5-буквенных слов, в которых буква Р используется хотя бы 2 раза, можно разбить задачу на несколько случаев:
- Р используется ровно 2 раза;
- Р используется ровно 3 раза;
- Р используется ровно 4 раза;
- Р используется ровно 5 раз.
Для каждого случая можно использовать формулу сочетаний и перестановок для размещения оставшихся букв. После этого сложить результаты для всех случаев.