Можно ли сделать паспорт по временному месту жительства или обязательно нужно делать по месту регистрации?

Можно.

В соответствии с законодательством Российской Федерации, паспорт может быть выдан по месту временного проживания при условии, что срок временного проживания составляет более 90 дней. В таком случае, для получения паспорта необходимо обратиться в территориальный орган Министерства внутренних дел России по месту временного проживания с соответствующим заявлением и пакетом документов.

Однако, если срок временного проживания не превышает 90 дней, то паспорт может быть получен по месту постоянной регистрации без необходимости оформления временного проживания.

Можно где хочешь, но если не в своём регионе — изготавливаться будет до трёх месяцев

Можно. Но сроки будут больше.