Для чего нужны матрицы в математике?

Матрицами описывается любое линейное преобразование N-мерного пространства (N = 1, 2, 3, 4, 5, ...), которое, в общем случае, сохраняет неподвижной одну точку (это нулевая точка начала координат).

Применение матриц в математике приводит к резкому сокращению записи математических формул.
Самый простой пример такой. У вас есть система из 7 линейных алгебраических уравнений с 7-ю неизвестными переменными. Вместо семи строк с семью слагаемыми в каждой вы кратко пишите так:

A*x=y

Здесь A - матрица 7х7 коэффициентов, х - семимерный неизвестный вектор, y - семимерный известный вектор.

А само уравнение A*x=y интерпретируется так: В 7-мерном пространстве задано линейное преобразование А, которое вектор х переводит в известный вектор у. Надо найти неизвестный вектор х.

Матрицы используются не только для сокращенной записи линейных алгебраических уравнений, но и для сокращенной записи линейных дифференциальных уравнений.

Благодаря такой краткой записи, теория матриц очень продвинута в современной математике и имеет выход на очень многие приложения в физике, биологии, экономике и финансах.

В теории матриц, в первую очередь, надо знать 3 главные темы:

1. Вырожденные матрицы. (Это многомерные аналоги нуля. Они описывают такие преобразования пространства, которые уменьшают размерность пространства.)

2. Собственные числа и собственные вектора матриц. (Это такие векторы в пространстве, которые при преобразования пространства, заданном матрицей, остаются инвариантными вдоль своего направления, хотя могут сменить направление на противоположное. Эта тема имеет огромное значение в теории колебаний и волн, и в теории стационарных состояний в квантовой механике.)

3. Сингулярное разложение матриц. (Это аналог фурь-разложения. Матрица раскладывается в конечный ряд матриц. Тема играет огромную роль в определении трендов временных рядов и их прогнозировании, и в таких задачах, как сокращение пространства признаков в машинном обучении.)