в арабском алфавите нет таких букв как э, я, ю, е, так как же они их пишут и произносят?

Нужно начать с того, что в арабском письме вообще нет букв, обозначающих гласные звуки. Кроме одной первой буквы - "алиф".
"Алиф" - единственная буква арабского алфавита, не обозначающая никакой согласный звук. В зависимости от контекста, она может использоваться для обозначения долгого гласного "а̄ ", либо как вспомогательный орфографический знак, не имеющий собственного звучания.
Три долгих гласных звука арабского языка (а̄, ӯ, ӣ) обозначаются буквами "алиф", "вав", "йа" соответственно. Краткие гласные на письме, как правило, не передаются. В случаях, когда необходимо передать точное звучание слова (например, в Коране и в словарях) , для обозначения гласных звуков используются надстрочные и подстрочные огласовки (харакат) .
Всё это подробно есть в википедии: http://ru.wikipedia.org/wiki/Арабский_алфавит
Но, как я понял вопрос не в этом, а в написании и произношении конкретныж звуков, соответствующим русским Я, Ю, Е, Э. Все приизносятся почти так-же, и есть их написание.. .примеры:
Я - Ясир Арафат (араб. ياسر عرفات‎‎) - все о нём слышали.. .
Яффа ( يافة) - ya:fa - город
Ю - Юсу́ф (араб. يوسف‎‎) - имя пророка в исламе (соответствует
библейскому Иосифу) .
Е - не вспомнил слов, начинающихся на эту букву, но есть в середине
БЕйрут ( بيروت ) (bеiru:t) - столица Ливана.
Э - Эр-Рияд (араб. الرياض‎‎) (ar-riya:d ) - столица Саудовской Аравии
правда звук "Э" передаётся буквой "алиф" и здесь произносится как среднее между Э и А
А про произношение этих звуков в русском и других иностранных языках хорошо написал в ответе White Rabbit .