Что такое детерминант? Линейная алгебра
В плане геометрических векторов, это особый коэффициент масштабирования, с которым линейная трансформация меняет любую область пространства. Т.е. во сколько раз изменилась площадь параллелограмма, составленного из двух базис-векторов(в двумерном случае, в трехмерном - это объем) после трансформации. Но ведь вектор может быть не только геометрическим. Поэтому детерминант играет роль при решении систем уравнений. Хотелось бы узнать общее определение детерминанта: как его определять в целом, его роль.
Это показатель того, как преобразуется пространство с помощью матрицы, оставляет ли её размерность или уменьшает.
Допустим матрица имеет размер 5х5 и её детерминант не равен нулю. Значит, эта матрица задает такое преобразование пространства, которое 5-мерное пространство оставляет 5-мерным.
Если эта матрица имеет нулевой детерминант, значит она переводит 5-мерное пространство в пространство с более низкой размерностью.
В какую именно размерность, это определяется уже детерминантами её миноров.
Если все миноры имеют ненулевые детерминанты, то данная матрица 5х5 переводит 5-мерное пространство в 4-мерное пространство.
Если хотя бы один минор 4х4 тоже имеет нулевой детерминант, а все миноры 3х3, 2х2 и 1х1 имеют ненулевые детерминанты, то эта матрица 5х5 преобразует 5-мерное пространство в 3-мерное пространство.
И т.д.
То есть матрицы с нулевым детерминантом, это многомерные аналоги нуля.
В одномерном пространстве матрица [0] преобразует 1-мерное пространство в 0-мерное, то есть в точку, так как если умножить на 0 любое число, которое находится на вещественной прямой, то это это число перейдет в 0. То есть прямая схлопнется в одну точку.
Поэтому нельзя делить на матрицы с нулевым детерминантом, также, как в одномерном числовом пространстве нельзя делить на ноль. В одномерном пространстве матрица [a] описывает преобразование этого одномерного пространства (растяжение/сжатие и отражение или инверсия относительно точки 0. Матрицы с нулевым детерминантом не имеют обратной матрицы точно также, как операция умножения на 0 не имеет обратной операции, так как нельзя делить на ноль.
При умножении 0 на 0 всегда получается только 0. Это же правило работает и в многомерных пространствах. При умножении двух матриц с нулевым детерминантом, всегда получает новую матрицу тоже с нулевым детерминантом. Причем, эта новая матрица преобразует пространство так, что его размерность уменьшается до минимальной размерности, которое задает одна из этих матриц сомножителей или еще меньшую размерность. То есть все эти матрицы с нулевыми детерминантами являются нетривиальными делителями нуля. (Делители нуля, это такие два числа A и B, что их произведение AB = 0, но сами А и В не равны нулю.)
Ненулевые детерминанты очень конкретные. Но в целом работает аналогия с одномерным пространством. Большие значения детерминантов по абсолютной величине больше 1, как правило, говорят о том, что данная матрица задает такое преобразование пространства, при котором близкие друг другу точки оказываются на более удаленном расстоянии друг от друга. Наоборот, если детерминант по модулю меньше 1, значит матрица задает какое-то сжатие пространства.
Evgeny M дал очень хороший ответ.
В дополнение: детерминант (== определитель в переводе-кальке), одна из исторически первых числовых характеристик матрицы. Следующие -- собственные числа (и вектора), характеристические многочлены (коэффициенты таковых) и куча ещё и новые придумывают.