Нужно ли накладывать ограничения на х?
Дано уравнение:
3x² - 24x + 64 = a • |x - 3|,
необходимо найти значения а, при которых есть ровно 3 положительных решения.
Левая часть всегда > 0, поэтому в данном случае а > 0, а также:
3x² - 24x + 64 = ax - 3a (1)
или
3x² - 24x + 64 = 3a - ax (2)
Если х = 3, исходное уравнение не имеет решений. Так вот, если я решаю аналитически: проверяю, когда у каждого из уравнений будет 1 корень > 0 или 2 корня > 0 и т.д., нужно ли мне также учитывать, что х ≠ 3? Т.е. прямо отдельно выписывать получившиеся положительные корни уравнений (1) и (2) и сравнивать их с 3, чтобы убедиться, что они не равны 3? Или таковых значений здесь априори не будет, и эта дополнительная проверка не имеет смысла?
Мне вообще кажется, что не нужно. Плюс, ответ у меня сошёлся и без ограничений на х, но это результат везения или того, что эти ограничения действительно не нужны?
Ограничение на "х" -- это действительное число. И всё. Если его снять, то уравнение всегда имеет 3 корня. Останется только исследовать на кратность.
В уравнении "х" переменная. Вы её ищите. Ограничения можно накладывать, как дополнительное условие, дополнение к условиям задачи. Типа 3 корня, среди которых нет х=3.
Короче: вы с ограничением на "х" перебарщиваете.
"чтобы убедиться, что они не равны 3" - не нужно.
Но!
Уравнение (1) выписывается вместе с условием x >= 3, уравнение (2) вместе с условием х <= 3. После того, как написано "Если х = 3, исходное уравнение не имеет решений", знаки равенства в этих неравенствам можно отбросить. Потому что "преобразования равносильные" - это важно!! (А если неравносильные, типа возведения в квадрат или извлечения корня, то лучше не отбрасывать. Там всякие нюансы есть - добавляются лишние корни или нет)
И корни уравнений (1) или (2) соответственно нужно потом проверить на x > 3 или х < 3 соответственно.