Уравнение φ =A +Bt2 +Ct3. Найдите угловую скорость и угловое ускорение объекта за 5 секунд (B=2 рад/с, C=1 рад/с2).
Уравнение действия имеет вид φ =A +Bt2 +Ct3. Найдите угловую скорость и угловое ускорение объекта за 5 секунд (B=2 рад/с, C=1 рад/с2).
Дано:
φ(t) =A + B*t² + C*t³
t = 5 с
B = 2 рад/с
С = 1 рад/с²
_______________
ω(t) - ?
ε(t) - ?
В уравнение вращательного движения подставим заданные B и C:
φ(t) =A +2*t² +1*t³
Угловая скорость - первая производная от угла поворота:
ω(t) = φ' = 4*t + 3*t²
Тогда
ω(5) = 4*5 + 3*5² = 95 рад/с
Угловое ускорение - первая производная от угловой скорости:
ε(t) = ω ' = 4 + 6*t
Тогда:
ε(5) = 4 + 6*5 = 34 рад/с²
Уравнение описывает угловое положение (φ) как функцию времени t. Угловая скорость (ω) — это первая производная углового положения по времени, а угловое ускорение (α) — это вторая производная углового положения по времени.
Таким образом, для нахождения угловой скорости возьмем первую производную уравнения φ по времени t:
φ(t) = A + Bt^2 + Ct^3
ω(t) = dφ/dt = 2Bt + 3Ct^2
Теперь вставим значения B и C:
ω(t) = 2*2t + 3*1t^2
ω(t) = 4t + 3t^2
Теперь найдем угловую скорость в момент времени t = 5 секунд:
ω(5) = 4*5 + 3*5^2
ω(5) = 20 + 3*25
ω(5) = 20 + 75
ω(5) = 95 рад/с
Теперь найдем угловое ускорение, взяв вторую производную уравнения φ(t) по времени t:
α(t) = dω/dt = d/dt (2Bt + 3Ct^2)
α(t) = 2B + 6Ct
Теперь вставим значения B и C:
α(t) = 2*2 + 6*1t
α(t) = 4 + 6t
Теперь найдем угловое ускорение в момент времени t = 5 секунд:
α(5) = 4 + 6*5
α(5) = 4 + 30
α(5) = 34 рад/с^2.
Уравнение вращения объекта заданное в виде φ = A + Bt² + Ct³ представляет собой уравнение второго порядка, где:
φ - угол поворота объекта,
t - время,
B и C - коэффициенты, которые определяют угловую скорость и угловое ускорение соответственно.
Угловая скорость (ω) и угловое ускорение (α) можно найти, взяв производные от уравнения вращения.
Угловая скорость: Для нахождения угловой скорости нужно взять производную от уравнения вращения по времени. Получаем ω = dφ/dt. Подставляем в это уравнение значения B и C, получаем ω = 2t + 3t².
Угловое ускорение: Аналогично, для нахождения углового ускорения нужно взять производную от угловой скорости по времени. Получаем α = dω/dt. Подставляем в это уравнение значение B и C, получаем α = 2 + 6t.
Теперь, чтобы найти угловую скорость и угловое ускорение объекта за 5 секунд, подставим t = 5 в эти уравнения:
Угловая скорость: ω = 25 + 3(5)² = 20 радиан/сек.
Угловое ускорение: α = 2 + 6*5 = 32 радиан/сек².
Итак, угловая скорость объекта за 5 секунд составляет 20 радиан/сек, а угловое ускорение - 32 радиан/сек²