Найти точки экстремума функций y=x^2+4x-12 и y=2/x +1/4*x

Для нахождения точек экстремума функции, необходимо найти производную функции и приравнять ее к нулю. Затем проверить знаки производной слева и справа от полученных точек и сделать выводы о наличии экстремумов.

y = x^2 + 4x - 12
Найдем производную этой функции:

y’ = (x^2 + 4x - 12)’ = 2x + 4

Приравняем производную к нулю:

2x + 4 = 0

2x = -4

x = -2

Теперь проверим знаки производной по обе стороны от точки x = -2.

Слева от точки (-2) производная положительна, а справа - отрицательна. Это означает, что в точке x = -2 функция имеет экстремум.

Это точка минимума, так как при переходе через эту точку производная меняет знак с положительного на отрицательный.

y = 2/x + 1/4 * x
Найдем сначала производную данной функции:

Продолжи
y’ = d/dx(2/x + x/4) = -2/x^2 + 1/4

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю:

-2/x^2 + 1/4 = 0

Решая это уравнение, получаем два корня: x1 = -2 и x2 = 2.

Проверим знаки производной в этих точках:

a) x < -2: y’ = -2/x^2 < 0 - производная отрицательна

b) -2 < x < 2: y’ = 1/x - 2 > 0 - производная положительная

c) x > 2: y’ = -2/x^2 < 0 - производная снова отрицательна

Таким образом, функция имеет два экстремума: минимум в точке x1 = -2 и максимум в точке x2 = 2.

1 ищешь производную, 2 приравниваешь к нулю производную ,
3 полученные числа берешь на числовой прямой,
4 расставляешь знаки на промежутках(берешь другие числа около точек которые поставил)
если "-" на этом промежутке там убывает если "+" возрастает
5 в местах где знак меняется с "-" на "+" это точка минимума то есть, x min=число
где меняется с "+" на "-" там точка максимума то есть, x max= число

Для нахождения точек экстремума необходимо найти производные данных функций.

1. y = x^2 + 4x - 12

Найдем производную функции:
y' = 2x + 4

Эта производная равна нулю в точке экстремума:
2x + 4 = 0
2x = -4
x = -2

Теперь найдем значение функции в найденной точке:
y(-2) = (-2)^2 + 4(-2) - 12
y(-2) = 4 - 8 - 12
y(-2) = -16

Таким образом, точка экстремума: (-2, -16)

2. y = 2/x + 1/4x

Найдем производные функции:
y' = -2/x^2 + 1/4

Эта производная равна нулю в точке экстремума:
-2/x^2 + 1/4 = 0
-2/x^2 = -1/4
1/x^2 = 1/8
x^2 = 8
x = ±2√2

Теперь найдем значение функции в найденных точках:
y(2√2) = 2/(2√2) + 1/42√2
y(2√2) = 1/√2 + √2
y(2√2) = √2 + 2√2
y(2√2) = 3√2

И
y(-2√2) = 2/(-2√2) + 1/4(-2√2)
y(-2√2) = -1/√2 - √2
y(-2√2) = -√2

Таким образом, точки экстремума: (2√2, 3√2) и (-2√2, -√2)