В каких случаях "Наконец" вводное слово, а в каких нет ?

Слово "наконец" может использоваться как вводное слово или как обычное наречие, в зависимости от контекста.

Вводное слово "наконец" употребляется, когда выражает эмоциональные переживания или привлекает внимание к какому-либо проблемному или долгожданному событию. Например:

"Наконец, сегодня я закончил проект! Все остальное теперь будет легко."
"Наконец, вы приехали! Я так скучал по вам!"
Когда "наконец" не выражает эмоциональности и просто указывает на заключительный момент или время, оно не является вводным словом. В таком случае оно используется как обычное наречие. Например:

"Он наконец понял значение этой книги."
"После долгих раздумий, они наконец приняли решение."
Чтобы понять, является ли "наконец" вводным словом, необходимо обратить внимание на интонацию, пунктуацию и контекст фразы. Вводное слово "наконец" обычно отделяется запятыми с обеих сторон, а оно само может быть выделено интонацией или ударением. Если нет указаний на эмоциональность предложения и "наконец" не выделено, то оно используется как обычное наречие.

Надеюсь, это объяснение поможет вам лучше понять, в каких случаях "наконец" является вводным словом.

наконец-то наконец, мы поймали на конец.

НАКОНЕЦ будет вводным словом, если
1) указывает на то, что слово, которое следует далее, заключает сказанное ранее или является последним. Пример: Один засмеялся, за ним второй, десятый, сотый и, наконец, последний. (Ф. Кривин.)
2) выражает недовольство, нетерпение, досаду. Пример: Да оставь ты меня, наконец!

"наконец" можно заменить "и еще" , завершает перечисление-вводное
Мимо пеня прошел первый солдат, прошел второй, третий и, наконец, прошел последний.
"наконец"="под конец". "напоследок"- функция обстоятельства
Мы поднимались все выше и наконец достигли вершины.