Смысл скалярного произведения векторов?

У меня сформировалось примерно такое представление: Это как линейный оператор.
Пусть будет 2д пространство. В нем есть два ортогональных базис-вектора. И ещё один единичный вектор v, как-то расположенный(ну пусть под углом 45 к горизонту, не суть). Чтобы задать трансформацию, нужно описать положение базис-векторов после трансформации. Введем числовую прямую вдоль единичного вектора v. И эта прямая расположена таким образом, что 0 у нее расположен в 0 2д базиса, а единичный вектор v равен 1 на этой числовой оси. И наш оператор делает такое отображение: проецирует все вектора 2д пространства на эту ось. Чтобы составить матрицу трансформации, достаточно найти проекции базис-векторов. Но т.к. вектор v тоже единичный, то проекция базис вектора абсцисс на ось равна проекции вектора v на базис вектор абсцисс. А это, в свою очередь, компонента вектора v по абсциссе. Тогда первая компонента матрицы 1х2 - это компонента единичного вектора v по оси абсцисс. Аналогично с осью ординат. Итого:
[Vx Vy].
Теперь, при применении трансформации этой к любому 2д вектору - это будет аналогично скалярному произведению между любым вектором 2д пространства и единичным вектором V.
Можно ещё немного дорассказать, но уже итак много напечатал. Мне бы щас по полочкам всё это разложить, так что, если не затруднит, напишите своими словами, как вы все это понимаете, и почему, с какой стати, откуда можно вводить числовую прямую(по сути одномерный базис?) В 2д пространство