Кнопка стоп в автобусе нужна для сигнализации, что на следующей остановке надо остановиться или о экстренной остановке?

На следующей.

В некоторых странах остановки только по требованию и вход и выход, но только на автобусных остановках , а не где вздумается пассажирам кнопки нажимать

В РФ водитель автобуса не имеет права сажать или высаживать пассажиров где-либо кроме автобусных остановок, поэтому ни о каких экстренных остановках речь идти не может.
Если кнопка есть, то она для того, чтобы предупредить водителя, что есть желающие выйти на следующей остановке.

Про экстренные остановки не слышала, такого не бывает. У нас если войти надо - ручкой машешь на остановке, иначе мимо проедет. А если выйти надо - жмем на кнопочку.

Это кнопка катапульта