Пусть n0 - минимальный натуральный корень уравнения A^n = E, где A - целочисленная матрица 2 порядка, некоторая
натуральная степень которой равна единичной.
Можно ли утверждать, что n0 принадлежит { 1, 2, 3, 4, 6 }?
Например, 6 - минимальная натуральная степень, делающая такую матрицу единичной:
0, -1
1, 1
PS. Что такое GL2(Z)? Это группа, порожденная всевозможными целочисленными матрицами второго порядка, некоторая натуральная степень которых равна единичной?
На всякий случай - решение задачи знаю, а что такое GL2(Z) - не знаю.
Можно.
Я решение тоже знаю, оно основано на том, что если вещественная матрица порождает конечную группу, то эта матрица подобна ортогональной, а целочисленная матрица имеет целый след. Имея ограничения на спектр и след, утверждение доказать весьма легко.
GLn(Z) - это группа целочисленных матриц порядка (размера) n, обратимых над Z.
Уже при n = 2 эта группа содержит элементы бесконечного порядка (в группе), жорданова клетка J2(1) имеет бесконечный порядок. В случае n = 2 эта группа порождается элементами конечного порядка, например,
J2(1) = A^3*B, где B - матрица из вашего примера, A - стандартное представление мнимой единицы вещественной матрицей, то есть матрица поворота на оборот/4.
Можно ли при n > 2 породить группу GLn(Z) матрицам конечного порядка, я что-то не могу сообразить быстро. Интуиция подсказывает, что можно, но интуиция может подвести.