Чем attentively отличается от carefully?

Attentively и carefully можно разграничить так: внимательно и вдумчиво, а вот "внимательно" и "осторожно" уже не совсем синонимы, так как во втором наречии рельефнее выступают компоненты "осмотрительно", "благоразумно" или "бережно" (в зависимости от ситуации). Подтверждение тому, что оба слова выражают близкие понятия, но обладают разными оттенками, мы находим в словаре. ВНИМАТЕЛЬНО - то есть не отвлекаясь на посторонние раздражители (синоним: сосредоточенно). ВДУМЧИВО - то есть разбираясь в подробностях.

Примеры для иллюстрации.

• Чтобы сдать экзамен, придется учить по четыре билета в день. На каждый уйдет как минимум полтора часа. Поэтому отвлекаться будет некогда, придется учить внимательно.

• На экзамене преподаватель будет спрашивать все детали билета, начиная с имен, дат и статистики и заканчивая бытовыми подробностями жизни. Поэтому пройтись по вершкам не получится, каждый билет придется учить вдумчиво.

Заглянем в словарь Collins Cobuild, чтобы уточнить данные значения.
ATTENTIVE: If you are attentive, you are paying CLOSE ATTENTION what is being said or done.
CAREFUL: Careful work, thought, or examination is thorough and shows A CONCERN FOR DETAILS.

В других ситуациях данные наречия могут сближаться по значению: внимательно и аккуратно, а также участливо и заботливо.