Можно ли решить кубическое уравнение без применения формулы Кардано?
Ну конечно. Есть подстановка Виета, как по мне "технологически" она несколько удобнее, хотя по сути мало чем отличается. Просто не надо помнить формулу. А для неприводимых случае удобнее тригонометрическая подстановка того же Виета
https://otvet.mail.ru/question/235372787 - здесь можно видеть ряды для одного из трех корней неполного кубического ур-я, действующие в неприводимом случае и в обычном. Эти ряды каждый желающий может развернуть сколь угодно далеко: закон построения коэф-тов несложен.
С применением тета-функций всякое уравнение степени n имеет общее решение
Да легко. Можно обойтись тригонометрией обычной или гиперболической, в зависимости от коэффициентов. Вместо кубических радикалов)
Квадратные действительные радикалы останутся всё равно.
Привели уравнение, вынесли полный куб, получили неполное кубическое
x^3 + px + q = 0.
Далее, делаешь замену x = Cy так, чтоб соотношение коэффициентов при y^3 и y стало либо 4/3, либо -4/3, я предполагаю действительность C, поэтому знак этого отношения ты хрен сменишь без ухода в комплексные числа.
Получается нечто типа
4y^3 + 3y = a
или
4y^3 - 3y = a
И далее выбираешь одну из замен, исходя из тождеств
1) sh(3x) = 4sh^3(x) + 3sh(x), где sh(x) = (e^x - e^(-x))/2 это если коэффициенты при y^3 и y одного знака.
2) если коэф. при y и y^3 разных знаков, и справа хрень по модулю не больше 1, то пользуешь тождество
cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x)
3) Ну и в последнем случае. если коэф. рахных знаков, а справа хрень по модулю больше 1, пользуешь для замены тождество
ch(3x) = 4ch^3(x) - 3ch(x), где ch(x) = (e^x + e^(-x))/2.
Разрешаю