Дуальное пространство, линейная алгебра
По определению, это пространство ковекторов над векторным пространством. Что это значит?
Дык надо было дальше определения продолжить читать) Это пространство линейных функционалов (отображений векторов в числа). Каждый такой объект f берет вектор x и делает из него число c:
f(x) = c.
Если x представить в виде разложения по некоторому базису:
x = Σk Ck xk,
то получится:
f(x) = Σk Ck f(xk).
Выходит, что в произвольном базисе xk любой линейный функционал можно представить набором чисел:
f(xk) = fk,
а его действие на вектор можно записать в виде "свертки" чисел fk с координатами вектора Ck. И записывается это тогда так:
(f, x) = Σk Ck fk.
Это значит, что описывать эти объекты придется, например, строками (потому что это наборы чисел fk). А это опять разложения по базисам и т. д. То есть это тоже линейное пространство, причем той же размерности, что и исходное. Ну вот это и есть сопряженное пространство, а линейные функционалы, если восприниматся как элементы сопряженного линейного пространства, а не функции, называются ковекторами. И раз разморености пространрства и сопряженного прстранства одинаковые, то между их элементами можно установить взаимооднозначное соответствие, которое называется сопряжением.
Дуальное пространство (или пространство ковекторов) - это абстрактное математическое пространство, которое состоит из линейных функций или функционалов на данном векторном пространстве. Если векторное пространство V представляет собой набор векторов в координатном пространстве, то ковекторы можно представить как линейные функции, которые “выбирают” или “проектируют” один из компонентов вектора.
Формально, дуальное пространство CV к векторному пространству V состоит из всех линейных функционалов, которые принимают векторы из V и возвращают скаляры. Таким образом, ковектор cᵥ ∈ CV можно представить в виде линейной функции cᵥ : V → F, где F - поле скаляров (например, вещественные или комплексные числа).
Дуальное пространство имеет ряд важных свойств и применений в линейной алгебре и функциональном анализе. Оно тесно связано с понятием билинейной формы, которая представляет собой функцию, которая принимает два аргумента - вектор и ковектор - и возвращает скаляр. Бифункционал на векторном пространстве и его дуальном пространстве позволяет определить скалярное произведение и метрику, что важно для изучения геометрических и топологических свойств векторных пространств.