Помогите решить логарифмическое неравенство из егэ

Решение логарифмического неравенства:
1. Сравнение логарифмов:
Первым шагом будет сравнение логарифмов в левой и правой частях неравенства.
a) Левая часть:
• log_7(3/x): основание 7, подлогарифмическое выражение 3/x.
• log_7(x^2-7x+11): основание 7, подлогарифмическое выражение x^2-7x+11.
b) Правая часть:
• log_7(x^2-7x+3/x+10): основание 7, подлогарифмическое выражение x^2-7x+3/x+10.
2. ОДЗ:
a) Логарифмы:
• Оба логарифма в левой и правой частях существуют, если их подлогарифмические выражения больше 0.
• 3/x > 0: x ≠ 0.
• x^2-7x+11 > 0: D = 49-4*11 = 1 < 0, значит, квадратное уравнение не имеет действительных корней.
• x^2-7x+3/x+10 > 0: приводим к виду x^3-7x^2+10x-3 > 0.
b) Сравнение:
• Так как основание логарифма 7 больше 1, то знак неравенства не меняется при сравнении подлогарифмических выражений.
• Получаем неравенство: x^2-7x+11 <= x^2-7x+3/x+10.
3. Решение неравенства:
• Переносим все члены в левую часть: x^2-7x+11 - x^2+7x-3/x-10 <= 0.
• Приводим подобные члены: -3/x-1 <= 0.
• Умножаем обе части неравенства на -x(x+1), меняя знак неравенства на противоположный: 3(x+1) >= x(x+1).
• Разлагаем на множители: (3-x)(x+1) >= 0.
• Строим знаковую таблицу:

4. Решение:
• Из знаковой таблицы видно, что неравенство (3-x)(x+1) >= 0 выполняется при x ∈ (-1; 3].
5. Окончательный ответ:
Решение неравенства: x ∈ (-1; 3].
ОДЗ: x ≠ 0.
Объединение: x ∈ (-1; 0) ∪ (0; 3].
6. Проверка:
• Подставляем крайние значения интервала в исходное неравенство.
• При x=-1: log_7(3/(-1)) + log_7(1) <= log_7(4) - неравенство верно.
• При x=0: log_7(3/0) + log_7(11) <= log_7(10) - неравенство не верно.
• При x=3: log_7(3/3) + log_7(1) <= log_7(13) - неравенство верно.
7. Визуализация:
• На числовой прямой отмечаем область решения:
... -2 -1 0 1 2 3 4 ...
| | | |
(-1; 0) (0; 3]
Conclusion:
Решение логарифмического неравенства: x ∈ (-1; 0) ∪ (0; 3].
Объяснение:
• Сравнили логарифмы, учитывая основание и ОДЗ.
• Преобразовали неравенство к виду, удоб