Помогите найти длины дуг кривых в декартовой системе координат (x/2)^(2/3) + y^(2/3) = a^(2/3)

Тут можно по-всякому... Например, параметризовать кривульку таким образом:
x(t) = 2 a cos(s)^3,
y(t) = a sin(s)^3.
Производные этих функций:
x'(t) = - 6 a cos(s)^2 sin(s),
y'(t) = 3 a sin(s)^2 cos(s).
Квадрат длины кусочка дуги:
dL^2 = dx^2 + dy^2 = ([x'(t)]^2 + [y'(t)]^2) dt^2 =
= 9 a^2 (4 cos(t)^2 + sin(t)^2) sin(t)^2 cos(t)^2 dt^2 =
= 9 a^2 (1 + 3 cos(t)^2) cos(t)^2 sin(t)^2 dt^2,
тогда длина кусочка:
dL = 3 a √[1 + 3 cos(t)^2] |cos(t) sin(t)| dt.
Усе, можем найти длину одного кусочка (одной четвертой всей фигуры, все кусочки одинаковые):
L = 3 a ∫ √[1 + 3 cos(t)^2] cos(t) sin(t) dt,
0 < t < п / 2.
Интеграл простенький, удачи с ним.