Нужна помощь с теорией вероятности
1) В партии из 28 изделий 8 изделий имеют скрытый дефект. Какова
вероятность того, что из взятых наугад 5 изделий 2 изделий являются
дефектными?
2) В двух партиях 78 и 39 - процент доброкачественных изделий
соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии.
Какова вероятность обнаружить среди них: а) хотя бы одно бракованное; б) два
бракованных; в) одно доброкачественное и одно бракованное?
3) На сборочное предприятие поступили однотипные комплектующие с трех
заводов в количестве: 30 с первого завода , 40 со второго , 30 с третьего.
Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе 0,9 , на 0,8
втором
, 0,9 на третьем
. а) Какова вероятность того, что взятое случайным
образом изделие будет качественным? б) Взятое изделие оказалось
качественным. Какова вероятность того, что оно изготовлено 2 -м заводом?
1) Для первого вопроса используем формулу Бернулли для вероятности биномиального распределения.
Вероятность того, что из 5 изделий 2 будут дефектными, вычисляется следующим образом:
\[ P(X=k) = \binom{n}{k} \times p^k \times (1-p)^{n-k} \]
где
- \( n = 5 \) (общее количество изделий, которые мы берем),
- \( k = 2 \) (количество дефектных изделий),
- \( p = \frac{8}{28} \) (вероятность выбора дефектного изделия),
- \( 1-p = 1 - \frac{8}{28} \) (вероятность выбора недефектного изделия).
\[ P(X=2) = \binom{5}{2} \times \left(\frac{8}{28}\right)^2 \times \left(1 - \frac{8}{28}\right)^{5-2} \]
Вычисляем:
\[ P(X=2) = \binom{5}{2} \times \left(\frac{2}{7}\right)^2 \times \left(\frac{5}{7}\right)^3 \]
2) Для второго вопроса также используем различные вероятности для выбора изделий:
a) Хотя бы одно бракованное:
\[ P = 1 - P(\text{все изделия качественные}) \]
b) Два бракованных:
\[ P = P(\text{оба бракованные}) \]
c) Одно доброкачественное и одно бракованное:
\[ P = P(\text{одно качественное и одно бракованное}) \]
3) Для третьего вопроса учитываем вероятности качественного изготовления изделий на каждом заводе и применяем формулу полной вероятности.
а) Для вероятности того, что взятое изделие будет качественным:
\[ P(\text{качественное}) = P(\text{качественное из первого}) \times P(\text{из первого}) + P(\text{качественное из второго}) \times P(\text{из второго}) + P(\text{качественное из третьего}) \times P(\text{из третьего}) \]
б) Для вероятности того, что изделие изготовлено i-м заводом, при условии, что оно качественное:
\[ P(\text{изготовлено i-м заводом} | \text{качественное}) = \frac{P(\text{качественное} | \text{изготовлено i-м заводом}) \times P(\text{изготовлено i-м заводом})}{P(\text{качественное})} \]