Как древние могли набежать на решение квадратного уравнения с двумя неизвестными, уже умея решать обычное квадратное ?

Question

Как древние могли набежать на решение квадратного уравнения с двумя неизвестными, уже умея решать обычное квадратное ?

Леонид Зайцев Мыслитель (5764), на голосовании 1 месяц назад

Может быть, так (возражайте) -

2x^2 + m = y^2
2x^2 + m = (x+k)^2
2x^2 + m = x^2 + 2kx + k^2
x^2 - 2kx = k^2 - m
x^2 - 2kx + k^2 = 2k^2 - m

(x - k)^2 = 2k^2 - m

x = k +- sqrt (2k^2 - m) = k +- q ,

и оказывается, что разрешимость 2x^2 + m = y^2 (m = const.)
в целых числах требует разрешимости 2k^2 - m = q^2 в них же.

2k^2 - m = q^2
2k^2 - m = (k+x)^2
2k^2 - m = k^2 + 2kx + x^2
k^2 - 2kx = x^2 + m
k^2 - 2kx + x^2 = 2x^2 + m

(k - x)^2 = 2x^2 + m

k = x +- sqrt (2x^2 + m) = x +- y ,

и оказывается, что разрешимость 2k^2 - m = q (m = const.)
в целых числах требует разрешимости 2x^2 + m = y^2 в них же.
Заколдованный круг! от которого дух захватывает)))

Answer 1

Amaxar 777 Высший разум (130068) 2 месяца назад

Да вроде как выделением полного квадрата в разных вариациях.
x^2 + 6 x = 40,
x^2 + 6 x + 9 = 49,
(x + 3)^2 = 49,
x + 3 = 7,
x = 4.
Об отрицательных числах тогда еще и не подозревали, потому числа рассматривали как абстрактные выражения для количеств, длин, площадей и объемов.

Сергей АлексеевОракул (99152) 2 месяца назад

А вы про каких древних говорите, если не секрет. Арабы 1000 лет назад- это древние? Они уже кибернетику изобрели тогда, и про отрицательные числа с интегралами догадывались.

Amaxar 777 Высший разум (130068) Я про греков досократовских.

Леонид ЗайцевМыслитель (5764) 2 месяца назад

Наверно, древние греки первоначально шли от примеров,
известных в странах Востока со времен Моисея:
2*1^2 - 1 = 1^2,
2*2^2 + 1 = 3^2,
2*5^2 - 1 = 7^2,
2*12^2 + 1 = 17^2,
2*29^2 - 1 = 41^2,
2*70^2 + 1 = 99^2
(на глиняной табличке вавилоняне сохранили для памяти пример
2*408^2 + 1 = 577^2; было ли им известно равенство
2*169^2 - 1 = 239^2, предшествующее ему,
нигде не удалось прочитать).

Amaxar 777 Высший разум (130068) У греков не было никаких отрицательных коэффициентов в уравнениях, потому что числа были длинами и площадями. Это: x^2 + a x = b, и это: x^2 = a x + b считались разными видами квадратных уравнений.

Леонид ЗайцевМыслитель (5764) 2 месяца назад

(Середина III века по Р.Х.: обращаясь к Дионисию, Диофант
свободно и правильно говорит о действиях над отрицательными числами - которые впоследствии не в силах была признать душа
Блеза Паскаля...)

Amaxar 777 Высший разум (130068) В третьем веке уже да, алгебра потихоньку разгонялась. Так что вы имели ввиду под древне-арабской кибернетикой. Можно в пяти словах?)

Леонид ЗайцевМыслитель (5764) 2 месяца назад

Это к Сергею Алексееву вопрос - он знает.

Леонид ЗайцевМыслитель (5764) 2 месяца назад

(о своем) Интересно, что ученые Хорезма (завоеванного арабами
с крайней жестокостью, но не склонившего головы) владели тайной
решения кубических уравнений с любой степенью точности. Возможно, при этом они использовали первую координатную четверть - применявшуюся уже в античное время.
Найдя уравнение стороны правильного 18-угольника x^3 - 3x + 1 = 0
и придав ему вид x = (1+x^3)/3, хорезмийцы могли провести в первой четверти две линии: y = x и более пологую y = (1+x^3)/3, которая начинается выше; после этого многократный "ход конем" (буквой Г
- вверх и вправо) ведет из начала координат все ближе к решению.

Леонид ЗайцевМыслитель (5764) 2 месяца назад

Надо было все-таки показать череду приближений:
x(0) = 0, y(0) = (1+0^3)/3 = 1/3 = 0.333etc.,
x(1) = 1/3, y(1) = (1+(1/3)^3)/3 = 28/81 > 0.345
x(2) = 0.345, y(2) = (1+0.345^3)/3 = 0.347021etc. > 0.347
x(3) = 0.347, y(3) = (1+0.347^3)/3 = 0.347260641 > 0.34726
x(4) = 0.34726, y(4) = (1+0.34726^3)/3 = 0.34729197etc.
x(5) = 0.34729, y(5) = (1+0.34729^3)/3 = 0.3472955etc.
x(6) = 0.3472955, y(6) = (1+0.3472955^3)/3 = 0.34729634etc.
Можно приближаться
с другой стороны:
x(0) = 7/20, y(0) = (1+(7/20)^3)/3 = 8343/24000 = 0.347625
x(1) = 0.34763, y(1) = (1+0.34763^3)/3 < 0.34734
x(2) = 0.34734, y(2) = (1+0.34734^3)/3 < 0.347302
x(3) = 0.347302, y(3) = (1+0.347302^3)/3 < 0.34729704
x(4) = 0.34729704, y(4) = (1+0.34729704^3)/3 < 0.34729644
Тем самым
0.34729634 < x < 0.34729644.