Математика, алгебра, очень подробная тема вопроса.

Question

Математика, алгебра, очень подробная тема вопроса.

Георгий Унжаков Мастер (1903), на голосовании 3 недели назад

Недавно решал задачу: доказать, что при натуральном n выражение 2^n (2 в степени n) не может заканчиваться на четыре одинаковые цифры. Само доказательство говорит, что такое число может заканчиваться на одну двойку или шестерку, максимум две четверки и максимум три восьмерки, но не на четыре одинаковые цифры. (Например, 2^4 = 16 это одна шестерка, 2^5 = 32 это одна двойка. 2^18 = 262144 это 2 четверки, 2^39 = 549755813888 это три восьмерки). Я заинтересовался: при каких натуральных n у нас получаются случаи: 2^n оканчивается на две четверки или три восьмерки? Воспользовавшись перебором с помощью цикла в питон, я нашел следующую закономерность: для двух четверок n = 18, 38, 58, 78, 98, 118, то есть нечетное натуральное число, к которому справа приписана цифра 8. А для трех восьмерок было еще интереснее: 39, 139, 239, 339, 439, 539... То есть, любое натуральное число, к которому справа приписали число 39. Могу привести следующую формализацию записей:
Для двух четверок: 2^(10x+8) заканчивается на 44 при x - нечетное, натуральное.
Для двух восьмерок 2^(100x+39) заканчивается на 888 при x - натуральное.
Но так ли это? Пока что я только увидел закономерность, но это неубедительно... Можно ли как-то доказать что только такие степени дают нужные окончания?

Answer 1

Всё правильно.

Если k>=2, то числа 2^k и 2^(n+k) заканчиваются на одну и ту же пару цифр в том и только том случае, если n делится на 20, и, т.к. 2^18, заканчивается на 44, то на 44 будут заканчиваться степени двойки с показателем 18+20m, т.е. такие, у которых показатель заканчивается на 8, а перед восьмёркой стоит нечётная цифра.

Аналогично, если k>=3, то числа 2^k и 2^(n+k) заканчиваются на одну и ту же тройку цифр в том и только том случае, если n делится на 100, и, т.к. 2^39, заканчивается на 888, то на 888 будут заканчиваться степени двойки с показателем 39+100m, т.е. такие, у которых показатель заканчивается на 39.

Продолжая ту же закономерность, последние 5 цифр будут повторяться (начиная с показателя равного 5) при увеличении показателя на 500, 6 цифр (начиная с показателя равного 6) --- на 2500; 7 цифр (начиная с показателя равного 7) --- на 12500 и т.д.

n цифр повторяется (начиная с показателя равного n) при увеличении показателя на 4*5^(n-1)