Сумма остатков от деления трёх последовательных натуральных чисел на 2022 — простос число. Докажите, что одно из

Question

Сумма остатков от деления трёх последовательных натуральных чисел на 2022 — простос число. Докажите, что одно из

111111 Ученик (5), закрыт 6 дней назад

Сумма остатков от деления трёх последовательных
натуральных чисел на 2022 — простос число. Докажите, что одно из чисел делится на 2022.

Answer 1

Сумма трех последовательных чисел (n-1)+n+(n+1)=3n всегда делится на 3. 2022 тоже делится на 3. Значит, сумма остатков может быть только числом 3. Три остатка тоже являются последовательными числами. Три последовательных неотрицательных числа образуют в сумме 3 в единственном случае: 3=0+1+2

Answer 2

Пусть три последовательных натуральных числа будут n, n + 1 и n + 2.

Если сумма остатков от их деления на 2022 - простое число P, то имеем:

(n mod 2022) + ((n + 1) mod 2022) + ((n + 2) mod 2022) = P,

где "mod" - это операция получения остатка от деления.

Поскольку 2022 является четным числом, то среди трех последовательных чисел n, n + 1 и n + 2 будет, по крайней мере, одно четное число. Пусть это число будет n.

Тогда, во всех трех случаях (n, n + 1, n + 2), числа делиться на 2 будут без остатка, т.е. они не будут влиять на сумму остатков при делении на 2022.

Следовательно, если сумма остатков от деления трех последовательных натуральных чисел на 2022 равна простому числу P, то это возможно только в том случае, если одно из чисел делится на 2022 без остатка. Если бы это не было так, то сумма остатков не могла бы быть простым числом, поскольку тогда все три числа давали бы ненулевой остаток при делении на 2022, что означало бы, что сумма остатков была бы больше 2022, а значит, не простым числом.

Итак, мы доказали, что если сумма остатков от деления трех последовательных натуральных чисел на 2022 равна простому числу, то одно из этих чисел делится на 2022 без остатка.