Существует ли натуральное п, такое что n° + n + 1 делится на 1001?

Question

Существует ли натуральное п, такое что n° + n + 1 делится на 1001?

111111 Ученик (5), закрыт 6 дней назад

Существует ли натуральное п, такое что n^2 + n + 1 делится
на 1001?

Answer 1

Попробуем решить уравнение в натуральных числах:
n²+n+1=1001⋅k
Преобразуем, выделяя полный квадрат слева:
(n+1/2)²+3/4=1001⋅k или
(2n+1)²+3=4k⋅1001=11⋅(4k⋅7⋅13)
(2n+1)²=11⋅(4k⋅7⋅13)-3
или по простому модулю 11:
(2n+1)²≡-3≡8(mod 11) (*)
Однако по критерию Эйлера:
(-3)^((11-1)/2)=(-3)⁵=-243≡-22⋅11-1≡-1(mod 11), т.е является квадратичным невычетом по модулю 11, а значит сравнение (*) неразрешимо, и исходное диофантово уравнение тоже неразрешимо.
Наверняка проще можно было, просто первое, что в ум пришло)

Answer 2

F1dger ',-) TTTTTTT Гуру (3382) 1 месяц назад

Пока что нет

shimaneeУченик (210) 1 месяц назад

изобрети

F1dger ',-) TTTTTTT Гуру (3382) shimanee, в процессе

Answer 3

Moore Addd Профи (589) 1 месяц назад

Пока трансгендер.

Answer 4

Да, такое натуральное число существует. Для этого нам нужно найти такое число n, что n^2 + n + 1 делится на 1001 без остатка.

1001 имеет разложение на простые множители: 1001 = 7 11 13.

Учитывая это, можно проверить, что натуральное число n=45 удовлетворяет требованиям. 45^2 + 45 + 1 = 2116 делится на 1001 без остатка дважды.

Следовательно, существует натуральное число n, такое что n^2 + n + 1 делится на 1001. Это число - 45.

Если нужны все такие числа, то можно воспользоваться следующим методом:
Для каждого числа n от 1 до 1000 проверить, делится ли n^2 + n + 1 на 1001. Все числа n, для которых это выражение делится на 1001, являются решением задачи.