Алгебра. Помогите пожалуйста

Хахах лох у меня каникулы

Для того чтобы проверить, является ли данное множество всех четных многочленов линейным пространством над полем вещественных чисел R, нужно проверить выполнение всех аксиом линейного пространства:

1. Сложение: для любых двух четных многочленов f(x) и g(x) должен быть определен и быть четным также многочлен f(x) + g(x).
2. Умножение на скаляр: для любого четного многочлена f(x) и для любого числа t должен быть определен и быть четным многочлен t * f(x).

Проверим выполнение этих условий:

1. Сложение: возьмем два четных многочлена f(x) = a0 + a2x^2 + a4x^4 + ... и g(x) = b0 + b2x^2 + b4x^4 + ... . Сумма f(x) + g(x) будет иметь вид h(x) = (a0 + b0) + (a2 + b2)x^2 + (a4 + b4)x^4 + ... Таким образом, сумма f(x) + g(x) также является четным многочленом. Поэтому данное множество замкнуто относительно сложения.

2. Умножение на скаляр: если взять четный многочлен f(x) = a0 + a2x^2 + a4x^4 + ... и умножить его на число t, то получим многочлен t * f(x) = t * a0 + t * a2x^2 + t * a4x^4 + ... . Так как t также является четным числом, это произведение тоже будет четным многочленом. Значит, множество всех четных многочленов над R замкнуто относительно умножения на скаляр.

Таким образом, множество всех четных многочленов над R является линейным пространством над R.