Что именно является самым корнем теории относительности?

Самым корнем является то, что все законы природы во всех инерциальных системах отсчета выполняются одинаково.

Этот принцип называется принцип относительности Эйнштейна.

Вот этого понимания до Эйнштейна не было.

До Эйнштейна считалось, что только законы механики выполняются одинаково во всех инерциальных системах отсчета. А вот, например, законы электродинамики в разных инерциальных системах отсчета, считалось, что могут выполняться по разному.

Отсюда было представление, что раз законы электродинамики выполняются в разных инерциальных системах по разному, то можно отличить движется система отсчета или стоит. А отсюда следовал вывод, что есть какая-то самая главная система отсчета. А значит покой не относителен, а абсолютен. Всё, что покоится относительно этой главной системы отсчета находится в абсолютном покое.

Рассмотрим такой мысленный эксперимент.

Вы в космическом корабле где-то вдали от Солнца (или даже вдали от галактик), и на корабле нет иллюминаторов, то есть не видно, что вас окружает. Двигатели космического корабля выключены. Вы легли спать, а потом проснулись. Двигатели опять выключены.

Вопрос: Вы сейчас двигаетесь равномерно прямолинейно относительно той точки, в которой был космический корабль перед тем как вы заснули, или вы по прежнему неподвижны относительно той системы отсчета?
Другими словами, пока вы спали, включался ли двигатель корабля и разгонялся ли корабль?

До Эйнштейна считалось, что никакими механическими экспериментами это определить невозможно, а вот экспериментами с электромагнитными явлениями это можно определить. Надо поставить какой-то эксперимент, такой, чтобы его результат отличался бы от результата до того, как вы легли спать. И такими экспериментами вы бы могли каждый день отслеживать скорость космического корабля и определять, разгонялся ли корабль, пока вы спали.

Эйнштейн сделал грандиозное революционное обобщение, заявив, что все явления природы во всех инерциальных системах отсчета выполняются одинаково, а не только одни законы механики.

Иногда, в некоторых учебниках по теоретической физики можно, кроме принципа относительности Эйнштейна, еще увидеть второй постулат теории относительности о том, что скорость света постоянна во всех инерциальных системах отсчета.

Но на самом деле, это введено просто для простоты изложения материала. Постоянство скорости света во всех инерциальных системах отсчета следует из уравнений Максвелла и принципа Эйнштейна. То есть, постоянство скорости света, это не корень теории относительности, а следствие.

В дальнейшем Эйнштейн обобщил свой принцип относительности и на неинерциальные системы отсчета, заявив, что все законы физики выполняются одинаково в системе отсчета, которая движется с ускорением и в инерциальной системе отсчета, которая находится в гравитационном поле с таким же ускорением свободного падения.

Всё остальное, что есть в теории относительности (замедление времени, сокращение длины, искривление пространства, невозможность преодоления скорости света, и т.д.), это только выводы из принципа относительности Эйнштейна, но никак не корень этой теории

Теория относительности обобщает механику Ньютона, и никак не отменяет её. То есть теорией относительности можно пользоваться и когда скорости меньше скорости света и когда гравитация мала. Просто будет лишний объем вычислений и не более того.