Решить интеграл: √x/(x-1) пожалуйста!

Чтобы решить данный интеграл, нужно разложить дробь на части:

√x/(x-1) = √x/(x-1) * (x+1)/(x+1)
= √x(x+1) / (x-1)(x+1)
= √x(x+1) / (x^2 - 1)

Теперь мы можем разложить на две дроби:

√x(x+1) / (x^2 - 1) = √x(x+1) / [(x-1)(x+1)]
= A/(x-1) + B/(x+1)

Находим коэффициенты A и B:

√x(x+1) = A(x+1) + B(x-1)
√x(x+1) = Ax + A + Bx - B

Сравниваем коэффициенты при x:

A + B = 0
A - B = 1

Решаем систему уравнений и находим значения A и B:

A = 1/2
B = -1/2

Подставляем обратно в наше уравнение:

∫[√x/(x-1)]dx = ∫[1/(2(x-1)) - 1/(2(x+1))]dx
= 1/2 * ln|x-1| - 1/2 * ln|x+1| + C

Ответ: 1/2 * ln|x-1| - 1/2 * ln|x+1| + C

Хорошо, давайте решим этот интеграл: ∫ √x/(x-1) dx

Шаг 1: Выполним замену переменной, чтобы упростить интеграл.
Пусть t = √x, тогда x = t^2, и dx = 2t dt.

Подставим в интеграл:
∫ √x/(x-1) dx = ∫ t/(t^2-1) * 2t dt = 2 ∫ t^2/(t^2-1) dt

Шаг 2: Разложим дробь на простые дроби:
t^2/(t^2-1) = 1 + 1/(t^2-1)

Подставим обратно в интеграл:
2 ∫ t^2/(t^2-1) dt = 2 ∫ (1 + 1/(t^2-1)) dt = 2 ∫ dt + 2 ∫ 1/(t^2-1) dt

Шаг 3: Первый интеграл - это просто t. Для второго интеграла используем замену:
Пусть u = t^2-1, тогда du = 2t dt, или dt = du/(2t).

Подставляем:
2 ∫ 1/(t^2-1) dt = ∫ 1/u * du/t = ∫ (1/u) * (du/√(u+1))

Шаг 4: Используем тригонометрическую подстановку:
Пусть √(u+1) = sec(θ), тогда u = sec^2(θ) - 1 = tan^2(θ), и du = 2 tan(θ) sec(θ) dθ.

Подставляем:
∫ (1/u) * (du/√(u+1)) = ∫ (1/tan^2(θ)) * (2 tan(θ) sec(θ) dθ / sec(θ))
= 2 ∫ (1/tan(θ)) dθ = 2 ln|sec(θ)| + C

Шаг 5: Возвращаемся к исходным переменным:
sec(θ) = √(u+1) = √(t^2-1+1) = t
Поэтому, ln|sec(θ)| = ln|t| = (1/2) ln|x|

Шаг 6: Собираем все части решения:
∫ √x/(x-1) dx = 2t + 2 ln|t| + C = 2√x + ln|x| + C

Итак, ∫ √x/(x-1) dx = 2√x + ln|x| + C