Чем треугольная пирамида отличается от тетраэдра?

основанием

По сути ничем.
Отличается немножко определением.
В пирамиде за основание принимается произвольный многоугольник, а другие грани являются треугольниками с общей вершиной. Таким образом, вершина и грани различаются по определению.
А в тетраэдре за основание разрешается принимать любую из граней.

Тетраэдр является треугольной пирамидой при принятии любой из граней за основание.

У пирамиды одна вершина, у тетраэдра - 4
У многогранника нет основания, точнее любая из его граней может таковым считаться
У пирамиды основание - произвольный многоугольник, соответствующее число рёбер.