Сущ-ют ли линейные или линеаризованные нелинейные системы, для кот-х обычная синусоидальная волна не является решением?
В природе существует множество примеров осциллирующих явлений, описание которых сводится к простому гармоническому поведению, т.е. к Косинусу/Синусу/Комплексному Экспоненте. Мы используем синусы и косинусы из-за их удобства и простоты математического описания явлений. Например, комплексные экспоненты являются собственными функциями оператора дифференцирования, поэтому линейные дифференциальные уравнения превращаются в алгебраические. Другими словами, сложную вибрацию барабана мы обычно описываем как сумму синусоидальных форм, потому что нам это удобно. Но эти вибрации барабана можно также описать как сумму треугольных или прямоугольных мод или любых других мод (при условии, что соответствующие функции составляют полный базис).
Но у меня вопрос в другом: существуют ли такие физические системы, в которых не могут существовать гармонические волны, описываемые синусами и косинусами? Перефразирую. Например, рассмотрим колебательную систему. Она может быть линейным, и тогда её динамика описывается линейным дифференциальным уравнением. Она также может быть нелинейной, тогда мы сможем линеаризовать систему и рассмотреть устойчивость стационарного состояния. В любом случае мы приходим к собственным значениям и собственным функциям. Возможно ли, что синусы и косинусы не являются собственными функциями для этой системы? Может быть, вы знаете хотя бы пару примеров таких систем? Изредка в литературе по механике я встречаю, что существует класс явлений, описание которых не ограничивается изучением свойств отдельных гармонических волн. Но примеров не приводится...
Ессно существуют. Но ты реальную фигню несёшь. Енти законы ещё неписаны и непознаны......
Как один синус (или косинус) редко что-то можно представить. Можно сказать, в избранных ситуациях, да еще и при некоторых приближениях и допущениях. В остальном же динамику системы можно представить как сумму кучи синусов и косинусов (даже линейные системы с несколькими степенями свободы уже не имеют простую гармоническую динамику). Любую периодическую функцию можно разложить по синусам и косинусам (Фурье). Если функция имеет колебательный характер, но не периодическая, то, может быть, она может быть представлена как сумма нескольких периодических функций с иррационально относящимися частотами, каждая из которых уже может быть разложена по синусам и косинусам. И, в общем-то, не важно, линейная система или нелинейная породила эту функцию.
-
Мораль такая: решение абсолютно любой системы представимо как комбинация кучи синусов и косинусов, но очень немногие системы (на фоне всевозможных) выдают решение в виде одного синуса или косинуса.