Линейный оператор, собственные числа и векторы

Делаете все как обычно, но при любых сложениях и умножениях чисел, если получается что-то кроме 0, 1 и 2, то берете от числа mod 3.
Записываем определение собственных векторов и чисел:
A x = a x,
A - ваша матрица,
a - сбоственное значение,
x - собственный вектор.
Переносим все в одну сторону:
(A - a 1) x = 0.
Ненулевые решения данной системы могут только тогда, когда:
det(A - a 1) = 0.
Раскрываем детерминант, получаем уравнение отн-но a:
(2 - a)^2 - 1 = 0.
Раскрываем скобки:
(a^2 - 4 a + 4) - 1 = 0.
Все числа 4 заменяем на 4 mod 3, это просто 1. Получаем:
(a^2 - a + 1) - 1 = 0,
или:
a (a - 1) = 0.
Получаем два собственных значения:
a = 0,
a = 1.
Подставляем a = 0 в систему отн-но x, получаем:
A x = 0,
и вытаскиваем собственный вектор:
x = {1, -2},
от -2 берем mod 3, получаем:
x = {1, 1}.
Подставляем a = 1 в систему отн-но x, получаем:
(A - 1) x = 0,
находим второй собственный вектор:
x = {1, -1},
от -1 берем mod 3, получаем:
x = {1, 2}.