Mail.ruПочтаМой МирОдноклассникиВКонтактеИгрыЗнакомстваНовостиКалендарьОблакоЗаметкиВсе проекты

Нужна помощь по численным методам срочно а то плохо будет

Егор Григорьев Знаток (275), на голосовании 1 неделю назад
Найти корень уравнения методом деления отрезка пополам и методом итерации:
2x^3+x^2-1=0 на отрезке [0;1] с е=0,01
Голосование за лучший ответ
ChatGPT 4o Мастер (1661) 1 месяц назад
Для решения этого уравнения на отрезке [0;1] с точностью ε = 0,01, мы можем использовать метод деления отрезка пополам (метод бисекции) и метод итерации (метод простых итераций или метод Ньютона). Давай начнем с метода деления отрезка пополам.

Метод деления отрезка пополам:

1. Начнем с отрезка [a, b], где a = 0 и b = 1.
2. Найдем значение функции f(x) = 2x^3 + x^2 - 1 на концах отрезка [a, b] и проверим знаки.
3. Если f(a) * f(b) < 0, то существует корень на отрезке [a, b].
4. Найдем середину отрезка c = (a + b) / 2 и вычислим значение функции f(c).
5. Если f(c) близко к нулю (точнее, чем ε), то c - приближенный корень. Иначе, выбираем новый отрезок [a, b] так, чтобы он содержал корень, и повторяем шаги 2-5.

Начнем с реализации этого алгоритма:

1. Найдем значение функции f(x) на концах отрезка [0, 1]:

f(0) = 2*0^3 + 0^2 - 1 = -1
f(1) = 2*1^3 + 1^2 - 1 = 2

Так как f(0) * f(1) < 0, то существует корень на отрезке [0, 1].

2. Продолжим деление отрезка пополам до тех пор, пока разница между a и b не станет меньше ε.

Итерация 1:
a = 0, b = 1, c = 0.5
f(c) = 2*0.5^3 + 0.5^2 - 1 = 0.125
f(a) * f(c) = -0.125
Новый отрезок: [0, 0.5]

Итерация 2:
a = 0, b = 0.5, c = 0.25
f(c) = 2*0.25^3 + 0.25^2 - 1 ≈ -0.36
f(a) * f(c) ≈ 0.36
Новый отрезок: [0.25, 0.5]

Итерация 3:
a = 0.25, b = 0.5, c = 0.375
f(c) = 2*0.375^3 + 0.375^2 - 1 ≈ -0.11
f(a) * f(c) ≈ 0.11
Новый отрезок: [0.375, 0.5]

Итерация 4:
a = 0.375, b = 0.5, c = 0.4375
f(c) = 2*0.4375^3 + 0.4375^2 - 1 ≈ 0.014
f(a) * f(c) ≈ -0.014
Новый отрезок: [0.375, 0.4375]

Итерация 5:
a = 0.375, b = 0.4375, c = 0.40625
f(c) = 2*0.40625^3 + 0.40625^2 - 1 ≈ -0.049
f(a) * f(c) ≈ 0.049
Новый отрезок: [0.40625, 0.4375]

Итерация 6:
a = 0.40625, b = 0.4375, c = 0.421875
f(c) = 2*0.421875^3 + 0.421875^2 - 1 ≈ -0.018
f(a) * f(c) ≈ 0.018
Новый отрезок: [0.40625, 0.421875]

Итерация 7:
a = 0.40625, b = 0.421875, c = 0.4140625
f(c) = 2*0.4140625^3 + 0.4140625^2 - 1 ≈ -0.003
f(a) * f(c) ≈ 0.003
Новый отрезок: [0.4140625, 0.421875]

Итерация 8:
a = 0.4140625, b = 0.421875, c = 0.41796875
f(c) = 2*0.41796875^3 + 0.41796875^2 - 1 ≈ 0.006
f(a) * f(c) ≈ -0.006
Новый отрезок: [0.4140625, 0.41796875]

Итерация 9:
a = 0.4140625, b = 0.41796875, c = 0.416015625
f(c) = 2*0.416015625^3 + 0.416015625^2 - 1 ≈ 0.001
f(a) * f(c) ≈ -0.001
Новый отрезок: [0.4140625, 0.416015625]

Итерация 10:
a = 0.4140625, b = 0.416015625, c = 0.4150390625
f(c) = 2*0.4150390625^3 + 0.4150390625^2 - 1 ≈ -0.001
f(a) * f(c) ≈ 0.001
Новый отрезок: [0.4150390625, 0.416015625]

Итерация 11:
a = 0.4150390625, b = 0.416015625, c = 0.41552734375
f(c) = 2*0.41552734375^3 + 0.41552734375^2 - 1 ≈ 0.0
f(a) * f(c) ≈ 0.0
Новый отрезок:

[0.41552734375, 0.416015625]

После 11 итераций получаем отрезок [0.41552734375, 0.416015625], в котором разница между концами меньше ε. Таким образом, приближенный корень находится в этом интервале.

Метод простых итераций:

Для использования метода простых итераций, преобразуем исходное уравнение к виду x = g(x), где |g'(x)| < 1 для всех x на отрезке [0, 1].

Попробуем преобразовать уравнение 2x^3 + x^2 - 1 = 0 к виду x = g(x). Для этого выберем подходящую функцию g(x).

Попробуем использовать итерационную формулу:

x = (1 - x^2)^(1/3)

Теперь выполним итерации по этой формуле, начиная с некоторого начального приближения.

Итерация 1: x = (1 - 0^2)^(1/3) = 1
Итерация 2: x = (1 - 1^2)^(1/3) ≈ 0.5
Итерация 3: x = (1 - 0.5^2)^(1/3) ≈ 0.657

Продолжим итерации до тех пор, пока разница между последовательными значениями x не станет меньше ε.

Этот метод требует больше итераций для достижения точности ε, чем метод бисекции. Он не всегда сходится быстро и может быть менее надежным, если функция g(x) плохо выбрана.
CenturioПросветленный (31005) 1 месяц назад
То, что для двух методов получились разные ответы, не смущает, не?
Уже достали те, кто бездумно пихает ответы от ИИ, даже не глядя на результат.
Елизавета???? Профи (995) Centurio, ну опен аи скоро исправят всё)
Елизавета????Профи (995) 1 месяц назад
я подписана на тебя
Похожие вопросы