Олимпиадная математика и Лиза. Как это решать черт возьми?
Лиза от скуки решила выписать по возрастанию все семизначные палиндромы, то есть числа, которые читаются одинаково слева направо и справа налево. Какое число Лиза запишет 2019-м?
Семизначные палиндромы — это числа вида abcdefa, где a, b, c, d, e, f — цифры, и a ≠ 0 (так как число не может начинаться с нуля).
Такие числа образуются следующим образом:
1. Выбираем первую и последнюю цифру (a). Так как число семизначное, a может быть от 1 до 9 — всего 9 вариантов.
2. Затем выбираем вторую и предпоследнюю цифру (b), что может быть любой цифрой от 0 до 9 — всего 10 вариантов.
3. Аналогично выбираем третью и предпредпоследнюю цифру (c) — также 10 вариантов.
4. Четвёртая цифра (d) также может быть любой от 0 до 9 — 10 вариантов.
Таким образом, количество всех вариантов формирования семизначных палиндромов составляет 9 * 10 * 10 * 10 = 9000.
Для определения 2019-го семизначного палиндрома, расставим возможные значения для a, b, c, и d. Поскольку числа упорядочены по возрастанию, значение a имеет наибольший приоритет, затем следует b, потом c, и наконец d.
Исходя из распределения 9000 значений:
- Каждое значение a даёт 1000 чисел (10 * 10 * 10).
- Значит, чтобы найти, какому диапазону принадлежит 2019-й палиндром, рассчитаем:
2019 ÷ 1000 ≈ 2 (остаток 19), следовательно мы идем на третий "проход" по значению 'a'.
- Значит, `a = 3` (первые тысяча для a=1, вторая тысяча для a=2, третья для a=3).
Внутри диапазона для `a = 3`:
- Каждое значениe b даёт 100 чисел (10 * 10).
- То есть 2019 - 2000 = 19-м число будет в диапазоне где `b = 0`, так как 10 * 10 = 100 и 19 < 100.
Поскольку мы уже нашли, что для `a = 3` и `b = 0`, далее s:
- Каждое значение c даёт 10 чисел.
- Значит, `c = 1`, так как 10 (для `c = 0`) + 10 (для `c = 1`) покрывает первые 20 элементов, и 19 находится в этом диапазоне.
Последняя цифра (d) полностью определяет порядковый номер внутри установленного ряда значений а, b, и c:
- `d = 9` (поскольку 10е число для c = 1).
Итак, Лиза запишет число 3001003 как 2019-й семизначный палиндром.
1000+2019=3019
3019103
Сколько 7-значных палиндромных чисел можно построить только с помощью цифр 0, 1, 1, 8, 8, 9, 9
200802
В данном случае, Лиза рассматривает семизначные палиндромы, то есть числа из семи цифр, которые одинаково читаются слева направо и справа налево.
Семизначные палиндромы начинаются с 1000001 и заканчиваются 9999999. Однако, если мы внимательно посмотрим на структуру этих палиндромов, мы увидим, что первая и последняя цифры должны быть одинаковыми, вторая и предпоследняя цифры должны быть одинаковыми, и третья и пред-предпоследняя цифры должны быть одинаковыми. Таким образом, семизначные палиндромы можно представить как числа вида ABCDCBA.
Теперь давайте подумаем, сколько таких чисел существует. Первая и последняя цифра не могут быть нулем (иначе число не будет семизначным), поэтому у нас есть 9 вариантов для каждой из этих цифр (от 1 до 9). Для остальных цифр у нас есть 10 вариантов (от 0 до 9). Таким образом, всего существует 9 * 10 * 10 = 900 семизначных палиндромов.
Так как Лиза записывает эти числа по возрастанию, то 2019-е число будет 2019-м семизначным палиндромом. Однако, 2019 больше, чем количество семизначных палиндромов (900), поэтому Лиза не сможет записать 2019-й семизначный палиндром. Возможно, в задаче имелось в виду другое количество цифр в палиндромах или другой порядковый номер палиндрома. Пожалуйста, проверьте условие задачи.