Как численно интегрировать функцию на отрезке [a,b] методом Гаусса? Шаги интегрирования простыми словами

Question

Как численно интегрировать функцию на отрезке [a,b] методом Гаусса? Шаги интегрирования простыми словами

Богдан Пахомов Профи (682), на голосовании 11 месяцев назад

У меня есть экспериментальные данные x и y, x на отрезке [0, 720] (градусы - 2 оборота) с шагом 0.5 градусов

Везде при поиске нахожу численное интегрирование методом прямоугольников (левых, правых, средних), трапеций и методом Симпсона.

С этими понятно:

Разделяем функцию на отрезки, на каждом отрезке по соотв методу определяем прямоугольник, трапецию или по 3-м точкам параболу (Симпсон)
И потом каждый получившийся сегмент площади суммируем и получаем примерное значение интеграла функции

Но что представляет из себя метод Гаусса? Я целый день сижу с учебником Волкова Численные методы и не могу, к сожалению, понять.
По методу Гаусса - интеграл функции y(x) равен сумме всех q_i*y(x_i), где q_i - вес узла, y(x_i)-значение функции в этом узле.

Помогите, пожалуйста, понять и объясните. На функции от 0 до 720 с шагом 0.5 определена функция. Дальше разбивать её на отрезки или метод Гаусса предполагает работу с полным отрезком?
Напишите, пожалуйста, шаги при вычислении

Answer 1

Вы разбиваете область интегрирования на кусочки. Интеграл на каждом кусочке упрощается с некоторой точностью (с использованием малости величины кусочка). Далее методы интегрирования различаются тем, как делается приближение для интеграла на маленьком кусочке.
Если вы замените функцию на в этой малой области прямоугольником, трапецией или параболой - вы поличите перечисленные вами методы. Во всех этих методах у вас фиксированы точки внутри области интегрирования, и вы с разными коэффициентами складыаете значение функции в этих точках. Идея метода Гаусса в том, чтобы не считать эти точки (в которых вы считаете значения) фискированными, а выбрать их так, чтобы точность была максимальной. Разумеется, точки тогда разделят промежуток на куски, находящиеся не в очень красивом соотношении между собой. Это проблема, если у вас уже есть какие-то накиданные точки и вы не можете вычислить значение в нужных точках. Раз они у вас равномерно накиданы, то внутри облсти интегрирования проблем не будет: правильным разбиением на малые области можно сделать так, чтобы они находились там, где надо для метода Гаусса. Но что делать с границами области интегрирования, придется подумать...

Answer 2

Вам суть метода квадратур Гаусса нужно или понять, что для табличных данных вы все равно точнее чем по формуле Симпсона не посчитаете?
Ну да лfдно.

Вот основные формулы для расчета.
Первая - это сама квадратурная формула Гаусса, а вторая - переходная от интеграла по любым конечным пределам к квадратурной формуле.
В этой формуле W - это весовые коэффициенты - числа на которые нужно умножить значения функции в точке X. Соответственно простейшая формула начинается с n=2 и дает такую точность в полтора раза выше, чем формула Симпсона.
Но загвоздка в том, что для формулы Симпсона вам надо взять точки на границе интервала и точно по его центру, а вот для квадратуры Гаусса нужно взять точки с координатами -√3/3≈-0,5773502692 и √3/3≈0,5773502692 и весами 1 и 1.
Вот пример вам - нахождения интеграла:

Как видите, вам применить такой подход не получиться, т.к. у вас регулярная сетка, а значит для использования квадратуры Гаусса нужно найти точки внутри каждого интервала. А это или заново перемерять эксперимент или строить аппроксимирующие функции, например кубический сплайн. Но тогда точность интеграла будет зависит от точности построения сплайна, а в случае кубического сплайна - формула Симпсона будет точной, инет смысла делать квадратуру Гаусса. В общем - вам надо формулу Симпсона пользовать или интегрировать по Ромбергу.