Уравнение 34*A^2 - 1 = B^2 и подобные ему: загадка неразрешимости

Просто-БРАВО!!! и Восхищение (без приколов)...

Не разобраться мне(((

по простому (от слова - совсем), переносим "непонятки" в одну сторон, "понятки"-в другую и получаем:1=... вся хрень -В*2

B^2 + C^2 = 34*A^2 в числах без общего множителя
требует нечетных B > C > 0; тогда A тоже нечетное:
(8M+1) + (8K+1) = 8N+2 = 2*(4N+1). Слева сумма
двух взаимно простых квадратов, потому A есть
p^2+q^2, где p > q > 0 имеют разную четность.

B^2 + C^2 = (5^2+3^2) * (p^2+q^2)^2 =

= (5^2+3^2) * [(p^2-q^2)^2 + (2pq)^2] ,

и возникают две формулы решения:

[5(p^2-q^2) + 3*2pq] ^ 2 + [3(p^2-q^2) - 5*2pq] ^ 2 = 34*(p^2+q^2)^2 ,

[3(p^2-q^2) + 5*2pq] ^ 2 + [5(p^2-q^2) - 3*2pq] ^ 2 = 34*(p^2+q^2)^2 .

Обе формулы говорят, что B >> 1; попробуем сделать С = +-1.

3*(p^2-q^2) - 10pq = +-1 есть 9*(p^2-q^2) - 30pq = +-3, откуда

34p^2 -+ 3 = (3q+5p)^2 невозможное: 17N+-3 не квадраты.

5*(p^2-q^2) - 6pq = +-1 есть 25*(p^2-q^2) - 30pq = +-3, откуда

34p^2 -+ 5 = (5q+3p)^2 невозможное: 17N+-5 не квадраты.

(17k+-0,1,2,3,4,5,6,7,8)^2 = 17N+0,1,4,9,16,25,36,49,64 =

= 0, 1, 4, -8, -1, 8, 2, -2, -4 (mod17) = 0 и +-(1,2,4,8) mod17,

вот все квадраты по модулю 17; +-(3,5) mod17 здесь нет.

Таким образом, 34*A^2 = B^2 + 1^2 не имеет решений в ц.ч.

(в качестве отдыха)
Пифагорейская формула
[(kn)^2 + 2k] * n^2 + 1 = (kn^2 + 1)^2
при k = 34 приносит пользу:
[34*(34n^2+2)] * n^2 + 1 = (34n^2 + 1)^2
советует испытать n = 1;
будет 34*6^2 + 1 = 35^2.
Но намного привычнее
(n^2-2)*n^2 + 1 = (n^2-1)^2.

Любопытно узнать, какими будут сразу все N^2-2, представимые
суммами квадратов. Может быть, имеется общее решение ур-я
C^2 + D^2 = N^2 - 2 ? соберем пока побольше частных решений.
Придав ур-ю облик N^2 - D^2 = C^2 + 2, видим, что годится любое
нечетное С (а все четные C исключены: C^2 + 2 не вправе быть
четно-нечетным. Точно так же облик N^2 - C^2 = D^2 + 2 говорит
о нечетности D (подходит любое нечетное D; при этом одному D
отвечает конечный набор нечетных C). Наконец, N всегда четное
(причем подойдет не каждое такое N). Станем собирать урожай:
C = 1, N^2 - D^2 = 3 = 2^2 - 1^2 (1^2 + 1^2 = 2^2 - 2)
C = 3, N^2 - D^2 = 11 = 6^2 - 5^2 (3^2 + 5^2 = 6^2 - 2)
C = 5, N^2 - D^2 = 27 = 14^2 - 13^2 (5^2 + 13^2 = 14^2 - 2)
также N^2 - D^2 = 27 = 6^2 - 3^2 (5^2 + 3^2 = 6^2 - 2)

C = 7, N^2 - D^2 = 51 = 26^2 - 25^2 (7^2 + 25^2 = 26^2 - 2)
также N^2 - D^2 = 51 = 11^2 - 8^2 (7^2 + 8^2 = 11^2 - 2)
C = 9, N^2 - D^2 = 83 = 42^2 - 41^2 (9^2 + 41^2 = 42^2 - 2)
C = 11, N^2 - D^2 = 123 = 62^2 - 61^2 (11^2 + 61^2 = 62^2 - 2)
также N^2 - D^2 = 123 = 22^2 - 19^2 (11^2 + 19^2 = 22^2 - 2)
C = 13, N^2 - D^2 = 171 = 86^2 - 85^2 (13^2 + 85^2 = 86^2 - 2)
также N^2 - D^2 = 171 = 30^2 - 27^2 (13^2 + 27^2 = 30^2 - 2)
также 14^2 - 5^2 (13^2 + 5^2 = 14^2 - 2, повтор)
C = 15, N^2 - D^2 = 227 = 114^2 - 113^2 (15^2 + 113^2 = 114^2 - 2)
C = 17, N^2 - D^2 = 291 = 146^2 - 145^2 (17^2 + 145^2 = 146^2 - 2)
также N^2 - D^2 = 291 = 50^2 - 47^2 (17^2 + 47^2 = 50^2 - 2)
С = 19, N^2 - D^2 = 363 = 182^2 - 181^2 (19^2 + 181^2 = 182^2 - 2)
также 62^2 - 59^2, 22^2 - 11^2 (19^2 + 59^2 = 62^2 - 2 и повтор)

Сбой: вместо 7^2 + 8^2 = 11^2 - 2 надо 7^2 + 7^2 = 10^2 - 2.
Почему не строится даже 2*(7A)^2 - 1 = B^2 ? потому что
B^2+1 не делится на простые числа, имеющие вид 4N-1,
и на их квадраты -- в силу взаимной простоты B^2 и 1.
Какие числа получатся при делении B^2+1 на четные
N^2-2, увидим: {(17k+-4)^2+1} : 17 = 17k^2+-8k+1, что
при k нечетном есть 17*(4n^2+4n+1) +- 8*(2n+1) + 1 =
= 68n^2 + (68+-16)n + (18+-8) и поделится на 2; ответ
34(n^2+n)+9 +- (8n+4) не будет полным квадратом, но
увидеть это трудно... Пусть кто-нибудь сильный поймет.
Меня снова зовет уравнение Люнгрена, потому бросаю.

(когда cилы вернулись) Надо было сразу {(34k+-13)^2+1} : 34 =
= 34k^2 +- 26k + 5 = (5k+-2)^2 + (3k+-1)^2 = квадрату, это
[(p^2-q^2)*m]^2 + [(2pq)*m]^2 = [(p^2+q^2)*m]^2, откуда
p^2-q^2 = (5k+-2)/m и 2pq = (3k+-1)/m одновременно
или наоборот: p^2-q^2 = (3k+-1)/m и 2pq = (5k+-2)/m.
Оставлю этот частный случай сильным решателям.

Общее док-во невозможности (N^2-2)*A^2 - 1 = B^2
Trygve N a g e l l советовал проводить исходя из
(N^2-2) * N ^ 2 + 1 = (N^2-1) ^ 2, предположив, что
[(N^2-1) - sqrt(N^2-2)*N] * [(N^2-1) + sqrt(N^2-2)*N] = +1
есть произведение двух одинаковых выражений
[B - sqrt(N^2-2)*A] * [B + sqrt(N^2-2)*A] = -1. Будет
(N^2-2) * {2AB} ^ 2 + 1 = {B^2+(N^2-2)*A^2} ^ 2,
согласное с (N^2-2) * N ^ 2 + 1 = (N^2-1)^2
только для N=2 (при выборе A=B=1):
N = 2AB, N^2-1 = A^2+(N^2-2)*B^2.