Задача, которую не решил ни один из участников олимпиады

Question

Задача, которую не решил ни один из участников олимпиады

Ян Дененберг Ученик (194), открыт 1 неделю назад

Оля хочет вставить несколько знаков «+» между цифрами в числе 111111111111111111 (то есть в репьюните из 18 единиц) таким образом, чтобы результат делился на 90. Сколькими способами Оля сможет это сделать?

Answer 1

Adolfick1488 Профи (633) 1 неделю назад

Многа буков. Низнай

Answer 2

Чтобы число, полученное в результате вставки знаков «+» между цифрами в числе 111111111111111111 (18 единиц), делилось на 90, оно должно удовлетворять двум условиям:

Оно должно быть кратно 10. Это означает, что последняя цифра должна быть 0. Но поскольку все цифры в нашем числе - это единицы, мы не можем получить 0 в конце числа, добавляя единицы. Таким образом, это условие невозможно выполнить.

Оно должно быть кратно 9. Число кратно 9, если сумма его цифр кратна 9. В нашем случае сумма цифр равна 18, что кратно 9.

Таким образом, поскольку мы не можем выполнить первое условие (кратность 10), Оля не сможет вставить знаки «+» таким образом, чтобы результат делился на 90, независимо от количества способов, которыми она может это сделать.

Answer 3

Мистер Мистерович Мастер (2184) 1 неделю назад

Отмена

Ян ДененбергУченик (194) 1 неделю назад

"Для делимости на 10 последние 10 единиц должны быть в одной группе." ................. Откуда это следует?

Answer 4

Алексей Романенко Ученик (218) 1 неделю назад

1488 способ

Answer 5

4 способа чтобы результат делился на 90

Answer 6

Павел А. Тюрин Высший разум (102156) 1 неделю назад

C(17,9). Делиться на 9 сумма будет в любом случае, а для делимости на 10 нужно, чтобы было ровно 10 слагаемых.

Максим ПодберёзовиковМастер (1099) 1 неделю назад

Формула сочетаний с повторениями.
Мне кажется, должно быть (8) и (10+8-1=17)
10-это как пустые корзины, по которым нам нужно
разложить 8 яблок.

Павел А. Тюрин Высший разум (102156) Максим Подберёзовиков, между цифрами 17 позиций, надо поставить 9 плюсов.

Максим ПодберёзовиковМастер (1099) 1 неделю назад

Точнее, 10 корзин с 1 яблоком в каждой, а 8 нужно раскладывать.

Максим ПодберёзовиковМастер (1099) 1 неделю назад

---------------------

Павел А. Тюрин Высший разум (102156) Максим Подберёзовиков, разложение 18 яблок по 10 корзинам соотв-ет кол-ву решений ур-я x1+...+x10 = 18, xi >= 1. Чтобы его найти, отмечаем 18 клеток в ряд и ставим 9 перегородок между ними. Всего 17 позиций, отсюда и C (17, 9) = C(18-1, 10-1) = C(n-1, k-1). Если же сначала положить по 1 яблоку, то x1+...+x10 = 8 и xi >= 0. Кол-во решений также C(17, 9) = C(10+8-1, 10-1) = C(n+k-1, n-1) = C(n+k-1, k).

Максим ПодберёзовиковМастер (1099) 1 неделю назад

k - это то, что нужно разложить, n - по скольким "ящикам".
Перегородки в формулу входят как n-1=10-1=9
9 - стоит в формуле на месте k. (k это не перегородки).
Почему к = 9?

Павел А. Тюрин Высший разум (102156) Максим Подберёзовиков, а где я утверждал , что к = 9? Из того, что я привел, к = 18 или 8.

Максим ПодберёзовиковМастер (1099) 1 неделю назад

Запамятовал. Увлёкся. Но мне было приятно с Вами пообщаться.
Интересно. Спасибо большое. Говорю совершенно искренне.

Answer 7

Это не Ответ !!! Просто иллюстрация к задаче.
Может, кому-то будет интересно.
С учётом перестановок, конечно, будет больше.
-------------------------------------------------------------------
8 9+9(1) 111111111+1+1+1+1+1+1+1+1+1
44 5+5+8(1) 11111+ 11111+ 1+1+1+1+1+1+1+1
53 6+4+8(1) 111111+ 1111+ 1+1+1+1+1+1+1+1
62 7+3+8(1) 1111111+ 111+ 1+1+1+1+1+1+1+1
71 8+2+8(1) 11111111+ 11+ 1+1+1+1+1+1+1+1
332 4+4+3+7(1) 1111+ 1111+ 111= 1+1+1+1+1+1+1
422 5+3+3+7(1) 11111+ 111+ 111+ 1+1+1+1+1+1+1
521 6+3+2+7(1) 111111+ 111+ 11+ 1+1+1+1+1+1+1
611 7+2+2+7(1) 1111111+ 11+ 11+ 1+1+1+1+1+1+1
2222 3+3+3+3+6(1) 111+ 111+ 111+ 111+ 1+1+1+1+1+1
3221 4+3+3+2+6(1) 1111+ 111+ 111+ 11+ 1+1+1+1+1+1
3311 4+4+2+2+6(1) 1111+ 1111+ 11+ 11+ 1+1+1+1+1+1
4211 5+3+2+2+6(1) 11111+ 111+ 11+ 11+ 1+1+1+1+1+1
5111 6+2+2+2+6(1) 111111+ 11+ + 11+ 11+ 1+1+1+1+1+1
41111 5+2+2+2+2+5(1) 11111+ 11+11+11+11+1+1+1+1+1
32111 4+3+2+2+2+5(1) 1111+ 111+ 11+ 11+ 11+ 1+1+1+1+1
311111 4+2+2+2+2+2+4(1) 1111+ 11+ 11+ 11+ 11+ 11+ 1+1+1+1
221111 3+3+2+2+2+2+4(1) 111+ 111+ 11+ 11+ 11+ 11+ 1+1+1+1
2111111 3+2+2+2+2+2+2+3(1) 111+ 11+ 11+ 11+ 11+ 11+ 11+ 1+1+1
11111111 2+2+2+2+2+2+2+2+2(1) 11+ 11+ 11+ 11+ 11+ 11+ 11+ 11+ 1+1
-------------------------------------------------------------------------------------------------
qwerty