Оно включается после того как движок заработал

Это замечательно!

Оно из фильма? Ужос какой

И это правильно. При неработающем - его контакты замкнуты. Лампочка светится.
На работающем - оно включается и размыкает контакты. Лампочка гаснет.

Варианта два:

1. Генератор неисправен (пробит один из диодов),
2. Генератор "неродной", от другого автомобиля.