Почему пишется Everybody startS, а не everybody start?

Потому что everybody - это не ВСЕ а КАЖДЫЙ

А когда про ОДНОГО а не про МНОГО говорится - тогда на конце надо приписывать S к глаголу

Потому что "каждых тел" несколько

...потому что единственное число (каждый)
множественное - all (все)
("All are the soldiers" - песенка)

Про этот момент, даже они (учителя из Англоязо стран) выделяют его и просят обращать на это внимание. Так что понянть вряд ли получится - лучше просто запомнить, что даже если подразумевается толпа людей или вещей (Everything is gonna be right - Всё будет хорошо) (( Заметьте - не EverythingS !!!!)) - грамматиески это обрабатывается как единственное число.