Задача по теории вероятности

Давайте решим задачу по порядку.

а) Параметр A.
Для нахождения параметра A воспользуемся условием нормировки:

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1 \]

Сначала найдем значение интеграла для области \(x\leq1\):

\[ \int_{-\infty}^{1} f(x) dx = \int_{0}^{1} 0 \, dx = 0 \]

Теперь вычислим значение интеграла для области \(1<x\leq4\):

\[ \int_{1}^{4} f(x) dx = \int_{1}^{4} A \cdot x^2 \, dx = A \left[ \frac{x^3}{3} \right] \Bigg|_{1}^{4} = A \left( \frac{4^3}{3} - \frac{1^3}{3} \right) = \frac{47A}{3} \]

Теперь мы можем использовать условие нормировки:

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \int_{0}^{1} 0 \, dx + \int_{1}^{4} A \cdot x^2 \, dx = 1 \]

\[ 0 + \frac{47A}{3} = 1 \]
\[ A = \frac{3}{47} \]

б) Функция распределения \( F(x) \).
Функция распределения находится как интеграл от плотности вероятности:

\[ F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt \]

Так как у нас два участка с разной формулой плотности вероятности, функция распределения будет разбиваться на два участка:

Для \( x\leq1 \):
\[ F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt = \int_{0}^{1} 0 \, dt = 0 \]

Для \( 1<x\leq4 \):
\[ F(x) = \int_{-\infty}^{1} f(t) dt + \int_{1}^{x} f(t) dt = 0 + \int_{1}^{x} \frac{3}{47} t^2 \, dt \]

\[ F(x) = \frac{3}{47} \int_{1}^{x} t^2 \, dt = \frac{3}{47} \left[ \frac{t^3}{3} \right] \Bigg|_{1}^{x} = \frac{3}{47} \left( \frac{x^3}{3} - \frac{1}{3} \right) \]

\[ F(x) = \frac{x^3 - 1}{47} \]

в) Математическое ожидание \( Mo \), медиана \( Me \), дисперсия \( DX \), стандартное отклонение \( \sigma(X) \).
Математическое ожидание вычисляется как:

\[ Mo = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f(x) dx \]

Поскольку у нас плотность вероятности задана участками, мы должны вычислить математическое ожидание для каждого участка и затем объединить результаты.

Для \( x\leq1 \):
\[ Mo_1 = \int_{-\infty}^{1} x \cdot f(x) dx = \int_{0}^{1} x \cdot 0 \, dx = 0 \]

Для \( 1<x\leq4 \):
\[ Mo_2 = \int_{-\infty}^{1} x \cdot f(t) dx + \int_{1}^{4} x \cdot f(t) dx = 0 + \int_{1}^{4} x \cdot \frac{3}{47} x^2 \, dx \]

\[ Mo_2 = \frac{3}{47} \int_{1}^{4} x^3 \, dx = \frac{3}{47} \left[ \frac{x^4}{4} \right] \Bigg|_{1}^{4} = \frac{3}{47} \left( \frac{4^4}{4} - \frac{1}{4} \right) = \frac{255}{47} \]

Теперь объединим результаты для каждого участка:
\[ Mo = Mo_1 + Mo_2 = 0 + \frac{255}{47} = \frac{255}{47} \]

Медиана \( Me \) — это значение, для которого половина значений меньше \( Me \), а половина больше.
Чтобы найти \( Me \), мы можем воспользоваться функцией распределения \( F(x) \) и решить уравнение \( F(Me) = 0.5 \).
К сожалению, это уравнение можно решить только численно. В данном случае \( Me \approx 2.679 \).

Для вычисления дисперсии \( DX \) сначала найдем математическое ожидание квадрата случайной величины \( Mo(X^2) \):

Для \( x\leq1 \):
\[ Mo_{1}^{2} = \int_{-\infty}^{1} x^2 \cdot f(x) dx = \int_{0}^{1} x^2 \cdot 0 \, dx = 0 \]

Для \( 1<x\leq4 \):
\[ Mo_{2}^{2} = \int_{-\infty}^{1} x^2 \cdot f(t) dx + \int_{1}^{4} x^2 \cdot f(t) dx = 0 + \int_{1}^{4} x^2 \cdot \frac{3}{47} x^2 \, dx \]

\[ Mo_{2}^{2} = \frac{3}{47} \int_{1}^{4} x^4 \, dx = \frac{3}{47} \left[ \frac{x^5}{5} \right] \Bigg|_{1}^{4} = \frac{3}{47} \left( \frac{4^5}{5} - \frac{1^5}{5} \right) = \frac{1023}{47} \]

Теперь можем вычислить дисперсию:
\[ DX = Mo(X^2) - (Mo(X))^2 = Mo_{1}^{2} + Mo_{2}^{2} - (Mo)^2 = 0 + \frac{1023}{47} - \left( \frac{255}{47} \right)^2 = \frac{285}{47} \]

Стандартное отклонение \( \sigma(X) \) равно корню из дисперсии:
\[ \sigma(X) = \sqrt{DX} = \sqrt{\frac{285}{47}} \approx 2.698 \]