Ядро и образ линейного оператора

Предоставленное вами изображение имеет математическую природу, возможно, из учебника или научной статьи, в которой обсуждаются линейные операторы. В тексте на русском языке упоминается о нахождении образа и ядра линейного оператора в пространстве \(2\times 2\) матриц. Данная матрица представляет собой матрицу \( 3 \times 2 \), что предполагает, что линейный оператор действует на матрицы \( 2 \times 2 \) для создания матриц \( 3 \times 1 \).

Вы спросили, правильно ли, что при составлении матрицы линейного оператора вы получили матрицу размерностей \( 6 \times 4 \). Этот результат необычен, поскольку преобразование матриц \( 2 \times 2 \) в матрицы \( 3 \times 1 \) не должно давать матрицу \( 6 \times 4 \). Матрица линейного оператора в стандартном базисе должна иметь то же количество строк, что и размерность выходного пространства, и такое же количество столбцов, что и размерность входного пространства. В этом случае вы ожидаете матрицу \( 3 \times 4 \), поскольку в каждом выходном векторе содержится 3 элемента, а в каждой входной матрице \( 2 \times 2 \) — 4 элемента.

Чтобы найти образ (диапазон) оператора, вам действительно придется действовать с данной матрицей на базисных векторах матричного пространства \( 2 \times 2 \). Полученный набор векторов даст вам изображение оператора. Для ядра (нулевого пространства) вы должны решить однородное уравнение \( AX = 0 \), где \( A \) — матрица оператора, а \( X \) — вектор в \( 2 \times 2 \) матричное пространство.

Если вы хотите, чтобы я провел эти расчеты или прояснил ситуацию дальше, буду рад помочь!