Что значит в выписке из роддома периоды?

Да, это периоды родовой деятельности

8 часов 30 минут рожали. Воды отошли за 5 часов 15 мин до рождения ребёнка. Быстро ваша мама родила. Бывает и больше суток рожают.

Ну вот столько и рожали, восемь с половиной часов. Первый период - схватки, второй период - потуги.
Безводный промежуток - это когда отошли воды (или когда принудительно прокололи пузырь, чтобы вызвать отхождение вод).