Помогите решить интегралы. Высшая математика

__

город

Давайте рассмотрим каждый из интегралов по отдельности.

### a) \(\int \frac{dx}{2x^2 + x + 2}\)

Для решения этого интеграла можно использовать метод разложения на простейшие дроби, но в данном случае квадратичный знаменатель не может быть разложен на линейные множители с действительными коэффициентами. Вместо этого, мы можем использовать частичное разложение в форме:

\[
\int \frac{dx}{2x^2 + x + 2}
\]

Попробуем сделать замену \( u = 2x^2 + x + 2 \), \( du = (4x + 1)dx \):

\[
\int \frac{dx}{2x^2 + x + 2} \neq \text{удобно для интеграции этой заменой, попробуем метод подстановки и приведения к стандартным интегралам}
\]

### б) \(\int \frac{dx}{\sqrt{1 + x - x^2}}\)

Перепишем подинтегральное выражение:

\[
\sqrt{1 + x - x^2} = \sqrt{1 - (x^2 - x - 1)}
\]

Преобразуем подкоренное выражение так, чтобы оно стало квадратом, для этого используем технику полного квадрата:

\[
1 + x - x^2 = 1 - (x^2 - x - 1) = - (x^2 - x - 1)
\]

### в) \(\int \frac{(x-4)dx}{2x^2 - 7x + 1}\)

Для решения этого интеграла используем метод разложения на простейшие дроби. Сначала разложим знаменатель:

\[
2x^2 - 7x + 1 = (ax + b)(cx + d)
\]

После разложения на множители, мы можем разложить интеграл на частичные дроби.

### г) \(\int \frac{(32x^2 - 7x)dx}{(x^2 + 4x + 3)(x + 5)}\)

Для решения этого интеграла сначала разложим знаменатель на множители:

\[
x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3)
\]

Тогда знаменатель интеграла примет вид:

\[
(x + 1)(x + 3)(x + 5)
\]

Теперь разложим интеграл на простейшие дроби:

\[
\frac{32x^2 - 7x}{(x + 1)(x + 3)(x + 5)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 3} + \frac{C}{x + 5}
\]

Найдем коэффициенты \( A, B, C \) и затем проинтегрируем каждую дробь отдельно.

### Решение интегралов

#### а) \(\int \frac{dx}{2x^2 + x + 2}\)

Попробуем найти интеграл методом подстановки.

#### в) Разложение на простейшие дроби

Для уравнения: \(2x^2 - 7x + 1 = 0\).

Используем метод разложения на простейшие дроби:

\[ 2x^2 - 7x + 1 = (2x - 1)(x - 1) \]

Тогда:

\[\int \frac{(x-4)dx}{2x^2 - 7x + 1} = \int \frac{(x-4)dx}{(2x-1)(x-1)}\]

Разложим на частичные дроби:

\[ \frac{x-4}{(2x-1)(x-1)} = \frac{A}{2x-1} + \frac{B}{x-1} \]

Решим систему уравнений для нахождения \(A\) и \(B\).

#### г) Разложение на простейшие дроби

Для уравнения: \(x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3)\).

Разложим:

\[\int \frac{(32x^2 - 7x)dx}{(x + 1)(x + 3)(x + 5)}\]

разложим на простейшие дроби:

\[\frac{32x^2 - 7x}{(x + 1)(x + 3)(x + 5)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 3} + \frac{C}{x + 5}\]

Решим систему уравнений для нахождения \(A\), \(B\), и \(C\).