ОБЩАЯ ПОЛЕЗНОСТЬ, МИКРОЭКОНОМИКА (как решить?)

Question

ОБЩАЯ ПОЛЕЗНОСТЬ, МИКРОЭКОНОМИКА (как решить?)

- Ученик (130), на голосовании 5 месяцев назад

Известна функция общей полезности трех благ:
TU=5XYZ
Необходимо определить общую полезность, если известно:
Px=3,Py=3,Pz=6,I=161

должно получиться: 1,4 e 4

Как правильно решить данную задачу?

Answer 1

Ну для начала составим и решим (прямую) задачу потребителя. Мы будем максимизировать полезность 5xyz → max при бюджетном ограничении, которое имеет вид
Px*x + Py*y + Pz*z = I, то есть
3x + 3y + 6z = 161

Составляем функцию Лагранжа и приравниваем к нулю ее частные производные:
L = 5xyz + λ (3x + 3y + 6z - 161)

∂L/∂x = 0 => 5yz + 3λ = 0 => 5yz = -3λ
∂L/∂y = 0 => 5xz + 3λ = 0 => 5xz = -3λ
∂L/∂z = 0 => 5xy + 6λ = 0 => 5xy = -6λ

Теперь поделим первое уравнение на второе и второе уравнение -- на третье (очевидно, оптимальные x, y и z ненулевые, поэтому это законно):
5yz / (5xz) = -3λ / (-3λ) => y / x = 1 => x = y
5xz / (5xy) = -3λ / (-6λ) => z / y = 1/2 => z = 0.5 y

Теперь подставляем эту информацию в бюджетное ограничение и находим, что
3x + 3y + 6z = 161 => 3y + 3y + 6 * 0.5 y = 161 => 9y = 161

Получается, оптимальные объемы потребления -- это y* = 161/9 и, соответственно, x* = 161/9 и z* = 161/18. Теперь вычисляем оптимальное значение полезности
TU* = 5 x* y* z* = 5 * 161/9 * 161/9 * 161/18 ≈ 14 311.6

В записи через мантиссу и экспоненту это число как раз равно 1.4 e4.