Mail.ruПочтаМой МирОдноклассникиВКонтактеИгрыЗнакомстваНовостиКалендарьОблакоЗаметкиВсе проекты

Вопрос по поводу дифференциальных уравнений и их типов

Владимир Суровцев Профи (631), закрыт 4 недели назад
Есть задача: определить типы дифференциальных уравнений и указать в общем виде методы их решений:

1)
Ответ из решебника: Приводящееся к уравнению с разделяющимися переменными; u = y -x

2) Ответ из решебника: Линейное; y = uv.

Как пришли к ответам из решебника? Можно пожалуйста подробно объяснить.
Лучший ответ
Евгений Высший разум (188940) 1 месяц назад
Вот так
Владимир Суровцев Профи (631) 1 месяц назад
Спасибо большое!
Евгений Высший разум (188940) Владимир Суровцев , пожалуйста
Остальные ответы
qq Мастер (1003) 4 недели назад
Давайте рассмотрим оба дифференциальных уравнения и объясним, как приходят к ответам, указанным в решебнике.

### Уравнение 1
\[ x = \arccos\left(\frac{y' - a^x}{y}\right) \]
\[ y' = \sin(y - x) \]

Чтобы понять тип этого уравнения и метод его решения, давайте попробуем преобразовать его.

#### Шаг 1: Замена переменных

Введем замену:
\[ u = y - x \]
Тогда:
\[ y = u + x \]

#### Шаг 2: Выражение производной

Теперь найдем производную \( y \) по \( x \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(u + x) = u' + 1 \]

Подставим это в \( y' = \sin(y - x) \):
\[ u' + 1 = \sin(u) \]
\[ u' = \sin(u) - 1 \]

Теперь у нас уравнение с разделяющимися переменными:
\[ \frac{du}{\sin(u) - 1} = dx \]

Это уравнение легко решается интегрированием обеих частей:
\[ \int \frac{du}{\sin(u) - 1} = \int dx \]

### Уравнение 2
\[ y = uv \]

Для уравнения второго типа, давайте рассмотрим его подробнее.

#### Шаг 1: Замена переменных

Введем замену:
\[ y = uv \]

Теперь найдем производную \( y \) по \( x \):
\[ y' = u'v + uv' \]

#### Шаг 2: Подстановка производной

Подставим это в исходное уравнение:
\[ y' = u'v + uv' \]

Теперь у нас линейное уравнение:
\[ y' = \text{выражение} \]

Линейные дифференциальные уравнения имеют вид:
\[ y' + P(x)y = Q(x) \]

Для их решения используется метод интегрирующего множителя.

### Итог:

- **Первое уравнение** приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены \( u = y - x \).
- **Второе уравнение** является линейным уравнением, и для его решения можно использовать метод замены \( y = uv \).
Похожие вопросы