Решить задачу по электротехнике

ChatGPT4o:

Для решения задачи по электротехнике, представленной на изображении, мы будем анализировать схему, содержащую резисторы R_1 и R_2 и конденсатор C. Мы рассмотрим изменение напряжения на резисторе R_2 до, во время и после коммутации.

Шаги решения:

1. До коммутации (t < 0):

До коммутации входное напряжение U_1 равно нулю (U_1 = 0), следовательно, конденсатор C разряжен и U_C = 0. В этом случае через резистор R_2 не протекает ток, и напряжение U_2 = 0.

2. Во время коммутации (t = 0):

В момент коммутации t = 0 входное напряжение U_1 мгновенно подскакивает до значения U. Согласно законам коммутации, напряжение на конденсаторе U_C(0^+) = U_C(0^-) = 0. Поэтому начальное напряжение на R_2 будет равно напряжению источника U_1:


U_2(0^+) = U_1 = U


3. После коммутации (t > 0):

После коммутации конденсатор начинает заряжаться через резистор R_1, и напряжение на конденсаторе U_C растет по экспоненциальному закону:


U_C(t) = U \left(1 - e^{-\frac{t}{R_1 C}}\right)


Напряжение U_2 на резисторе R_2 определяется как разность между входным напряжением U_1 и напряжением на конденсаторе U_C:


U_2(t) = U_1 - U_C(t) = U - U \left(1 - e^{-\frac{t}{R_1 C}}\right) = U e^{-\frac{t}{R_1 C}}


Это экспоненциальное затухание, так как конденсатор заряжается, напряжение на R_2 уменьшается со временем.

График напряжения U_2(t):

На графике U_2(t) будет видно следующее:

• В момент t = 0, U_2 мгновенно подскакивает до U.
• Затем напряжение U_2 экспоненциально уменьшается до нуля по закону (U_2(t) = U e^{-\frac{t}{R_1 C}}).

Пример графика:

 U2 
|         ______ 
|        /      
|       / 
|      /  
|     / 
|    / 
| __/ 
| 
|_____________________ t 
     t=0       t=t1 

• При t = 0 напряжение U_2 скачком поднимается до U.
• Затем U_2 экспоненциально убывает до нуля.

Итог:

• До коммутации: U_2 = 0
• Во время коммутации: U_2(0^+) = U
• После коммутации: U_2(t) = U e^{-\frac{t}{R_1 C}}

Uc(0+) = Uc(0-)= 0- верно.Ur2(0+)= Ur2(0-) - параллельный участок и ни какого скачка.
Забудем пока форму подаваемого напряжения.Считаем, что подается напряжение U1.
Установившееся значение напряжения U2(∞)=[U1/(R1 + R2)]*R2
Решаем в операторной форме
U(p)=I(p)*[R1 + (1/pC)*R2/(R2 + 1/pC)]
Находим I(p)
Напряжение на параллельном участке равно искомому
U(p)2=I(p)* (1/pC)*R2/(R2 + 1/pC)=U1(p)*R2/[(R1 + R2)*pT +1) (1)
T=p*R1*R2*c/(R1 + R2)
Оригинал изображения U2(p) равен
u2(t) =[U1*R2/(R1 + R2)]*(1 - e^(-t/T) (2)
Проверяем u2(0)=0; u2(∞)=U1*R2/(R1 + R2) - сходится с граничными условиями.
Вторая часть.Сигнал имеет прямоугольную форму, которую в формулу не вставить.Преобразуем прямоугольный сигнал в ряд Фурье (достаточно первой и первых трех не четных гармоник).Преобразовывается просто, данных графика достаточно.
U1(t)= U + U(ωt) + U(3ωt) + U(5ωt) + U(7ωt) (3)
Подставить значение (3) вместо U1 и будет окончательное решение
График не симметричный, поэтому должна быть постоянная составляющая U