Помогите с алгеброй пж срочно

42

Для того чтобы найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, нужно определить первый член \( a \) и знаменатель прогрессии \( r \). Даны члены \( b_3 = 8 \) и \( b_5 = \frac{3 \cdot 5}{9} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3} \).

В геометрической прогрессии \( n \)-ый член выражается формулой:
\[ b_n = a \cdot r^{n-1} \]

Таким образом, для третьего и пятого членов имеем:
\[ b_3 = a \cdot r^2 = 8 \]
\[ b_5 = a \cdot r^4 = \frac{5}{3} \]

Разделим второе уравнение на первое, чтобы исключить \( a \):
\[ \frac{b_5}{b_3} = \frac{a \cdot r^4}{a \cdot r^2} = r^2 \]
\[ \frac{\frac{5}{3}}{8} = r^2 \]
\[ \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{8} = r^2 \]
\[ \frac{5}{24} = r^2 \]
\[ r^2 = \frac{5}{24} \]
\[ r = \sqrt{\frac{5}{24}} \]

Теперь подставим \( r \) в первое уравнение, чтобы найти \( a \):
\[ 8 = a \cdot \left(\sqrt{\frac{5}{24}}\right)^2 \]
\[ 8 = a \cdot \frac{5}{24} \]
\[ a = 8 \cdot \frac{24}{5} \]
\[ a = \frac{192}{5} = 38.4 \]

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии рассчитывается по формуле:
\[ S = \frac{a}{1 - r} \]

Теперь вычислим:
\[ r = \sqrt{\frac{5}{24}} \approx 0.456 \]

Подставим \( a \) и \( r \):
\[ S = \frac{38.4}{1 - \sqrt{\frac{5}{24}}} \]

Однако \( r = \sqrt{\frac{5}{24}} \approx 0.456 \) меньше единицы, поэтому для точного значения лучше вычислить:

\[ S = \frac{38.4}{1 - \sqrt{\frac{5}{24}}} \]

Для точного результата это выражение можно рассчитать численно:
\[ S \approx \frac{38.4}{1 - 0.456} \approx \frac{38.4}{0.544} \approx 70.59 \]

Итак, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна приблизительно 70.59.