Дискретная случайная величина задана характеристической функцией

Конкретно тут проще всего воспользоваться определением характеристической функции. Нам известны значения, которые принимает случайная величина X, поэтому ее характеристическая функция должна иметь вид (комплексные экспоненты сразу раскрыл по формуле Эйлера)
С другой стороны, это должно совпасть с φ(t) = 0.5 + 0.5 cos(2t) + 0.1 i sin(2t). Отсюда сразу получаем, что P(X = 0) = 0.5. Теперь пусть P(X = 2) = p и P(X = -2) = q. Тогда

1. Чтобы собралось 0.5 cos(2t) у нас должно быть p + q = 0.5
2. Чтобы собралось 0.1 i sin(2t) у нас должно быть p - q = 0.1

Решая систему, получаем p = 0.3 и q = 0.2. Тогда ответ такой:

• P(X = -2) = 0.2
• P(X = 0) = 0.5
• P(X = 2) = 0.3

То же самое можно было бы получить через обратное преобразование Фурье для φ(t), но, как по мне, конкретно в данной задаче от определения двигаться будет банально быстрее, чем брать интеграл и возиться с ним