Физика. Закон Джоуля-Ленца.

Закон Джоуля-Ленца описывает количество тепла, выделяемого в проводнике при прохождении через него электрического тока. В дифференциальной форме он может быть выражен через плотность тока и электрическое поле. Вывод этой формулы начинается с рассмотрения закона Джоуля-Ленца в интегральной форме и переходит к дифференциальной форме через понятие плотности мощности.

### Интегральная форма закона Джоуля-Ленца

Закон Джоуля-Ленца в интегральной форме выражает количество тепла \(Q\), выделяемого за время \(t\) в проводнике с сопротивлением \(R\):

\[ Q = I^2 R t \]

где \(I\) — электрический ток.

### Дифференциальная форма

Для получения дифференциальной формы закона Джоуля-Ленца, рассмотрим плотность мощности (мощность, выделяемая в единице объема проводника):

\[ P = \frac{dQ}{dt} \]

Используя закон Ома \( V = IR \), где \(V\) — напряжение, мы можем переписать мощность через напряжение и ток:

\[ P = VI \]

Теперь выразим мощность через плотность тока и электрическое поле. Пусть \(J\) — плотность тока, а \(E\) — электрическое поле. Тогда:

\[ I = JA \quad \text{(где \(A\) — площадь поперечного сечения проводника)} \]
\[ V = EL \quad \text{(где \(L\) — длина проводника)} \]

Мощность можно выразить как:

\[ P = VI = (EL)(JA) = E(JA)L \]

Но это мощность для всего проводника. Мы хотим выразить её для единицы объема:

\[ P = \frac{EJL}{L} = EJ \]

### Дифференциальная форма закона Джоуля-Ленца

Таким образом, мощность на единицу объема проводника \(p\) выражается как:

\[ p = \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} \]

где \(\mathbf{E}\) — вектор напряженности электрического поля, а \(\mathbf{J}\) — вектор плотности тока.

Это и есть дифференциальная форма закона Джоуля-Ленца, которая говорит нам, что плотность мощности (количество тепла, выделяемого в единице объема в единицу времени) равна скалярному произведению вектора электрического поля и вектора плотности тока.